Euklideszi gyűrű

Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma. Lényegében egy olyan gyűrű, amiben a maradékos osztás, más néven euklideszi osztás tétele igaz. Utóbbinak feltétele, hogy egy speciális függvény, az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn. Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában, mivel számos „jó” tulajdonságuk van, például teljesül bennük a számelmélet alaptétele.

Definíció

Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk, ha benne norma értelmezhető, azaz

$\mathrm{\exists }\phi :R\to \mathbb{\mathbb{N}},\{\begin{array}{l}\phi (x)=0\iff x=0\\ \phi (x)=\phi (y)\iff x\sim y\text{, azaz asszociáltjai egymásnak}\\ \phi (xy)\ge \phi (x)\phi (y)\end{array}$,

valamint minden $a$ és $b\ne 0$ számmal elvégezhető a maradékos osztás, azaz

$\mathrm{\exists }q,r\in R:\phi (r)<\phi (b),a=bq+r$. Bizonyítható, hogy ha ez létezik, akkor egyértelmű.

Példák

Az alábbiak euklideszi gyűrűk, ez általában könnyen ellenőrizhető.

• Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel, mint normával ellátva. A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető, a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva, ezért mondhatni definíció szerint teljesül.
• Ha $T$ test, akkor a felette lévő $T[x]$ polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi. Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk:

$\phi :\mathbb{𝕋}[x]\to \mathbb{\mathbb{N}},f\to \{\begin{array}{l}0\text{, ha }f=0\\ 2^{grad(f)}\text{ egyébként. Itt }grad(f)\text{ az }f\text{ polinom foka.}\end{array}$

Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket, figyelembe véve, hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei. Már csak az euklideszi osztást kell igazolni. Legyen $f,g\in \mathbb{𝕂}[x]$. Az euklideszi osztás azt jelenti, hogy $\mathrm{\exists }q,r\in \mathbb{𝕂}[x]$, hogy $f=qg+r$ és $\phi (r)<\phi (g)$. Ha $\phi (g)>\phi (f)$, akkor $f=0\cdot g+f$. Egyébként legyen $g_0=g$, és $g_i=g_{i-1}-\frac{{\left(g_{i-1}\right)}_{grad(g_{i-1})}}{f_{grad(f)}}f$. Így a $g_i$ polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk, tehát lesz olyan $j\in \mathbb{\mathbb{N}}$, hogy $\phi (g_j)<\phi (f)$. Ekkor a $\sum _{i=1}^{j-1}{g}_i$ és $r=g_j$ polinomok teljesítik a feltételünket, erről visszaszorzással meggyőződhetünk.

• A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával. A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható, a maradékos osztás kissé nehézkesebb. Legyen $a,b\in \mathbb{𝔾}$. Olyan $q,r\in \mathbb{𝔾}$ számokat keresünk, hogy $a=bq+r$. Ha ezt átalakítjuk kissé, akkor kapjuk, hogy $\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}$, ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik, hogy $\phi {\left(\frac{r}{b}\right)}^2<1$. Az egyenlőség miatt $\phi {(\frac{a}{b}-q)}^2<1$, ami jó is lesz maradéknak. Legyen tehát $\frac{a}{b}=c+di$, és keressünk olyan $c^{\prime },d^{\prime }\in \mathbb{\mathbb{Z}}$ számokat, hogy $|c-c^{\prime }|\le \frac{1}{2}$, valamint $|d-d^{\prime }|\le \frac{1}{2}$, azaz legyenek a legközelebbi egészek.Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt. Ha pedig $q=c^{\prime }+d^{\prime }i$, akkor készen is vagyunk, mivel $\phi {(\frac{a}{b}-q)}^2=(c-c^{\prime }{)}^2+(d-d^{\prime }{)}^2\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2<1$.
• Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi.

Tulajdonságok

• Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is. Ez azonban fordítva nem igaz.

Bizonyítás: Legyen $I$ a gyűrű egy ideálja, és $g$ a legkisebb nem nulla normájú eleme. Azt kell belátni, hogy $(g)=I$, azaz a gyűrű minden ideálja főideál. A $(g)\subseteq I$ nyilvánvalóan igaz, mivel $I$ tartalmazza $g$ minden többszörösét. Válasszunk egy tetszőleges $f$ elemet $I$-ből. Erre igaz a gyűrű definíciója miatt, hogy $f=gq+r$, ahol $\phi (r)<\phi (g)$. Ezért $r=f-gq$, azaz $r\in I$, és mivel $g$ minimális volt, ezért $r=0$ lehetséges csak. Ezért $f\in (g)$, emiatt $I\subseteq (g)$. A fordítottjára példa az $E\left[\sqrt{-19}\right]$ gyűrű, ami főideálgyűrű, de nem euklideszi.

• Érvényes a számelmélet alaptétele. Azonban attól, hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel, még nem lesz euklideszi.
• Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is. E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság, hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják.
• Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója. Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával.

További információk

• Alice és Bob - 17. rész: Alice és Bob ókori haverja
• Alice és Bob - 21. rész: Alice és Bob titkosít