Főideálgyűrű

A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a főideálgyűrű olyan integritási tartomány, amelyben minden ideál főideál, azaz egyetlen elem generálja. A főideálgyűrű kifejezést az angol principal ideal domain elnevezés alapján gyakran PID-nek rövidítik. Bizonyos szövegekben főideálgyűrű alatt olyan gyűrűt (és nem feltétlenül integritási tartományt) értenek, amiben minden ideál főideál. Ebben az esetben az angol principal ideal ring alapján a PIR rövidítés használatos. Ebben a szócikkben főideálgyűrűk alatt mindig integritási tartományt értünk. A főideálgyűrűk az egész számok közeli általánosításai: igaz bennük a számelmélet alaptétele és bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója, habár azt nem feltétlenül lehet euklideszi algoritmussal előállítani. (Az olyan gyűrűt, amikben az euklideszi algoritmus működik, euklideszi gyűrűnek nevezzük; minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű.)

Példák

• Bármely $K$ test.
• A $K[X]$ polinomgyűrű, ahol $K$ test. A megfordítás is igaz: ha $A[X]$ PID, akkor $A$ test.
• Az egész számok $\mathbb{\mathbb{Z}}$ gyűrűje.
• A Gauss-egészek $\mathbb{\mathbb{Z}}[i]$ gyűrűje.
• Az Eisenstein-egészek $\mathbb{\mathbb{Z}}[\omega ]$ gyűrűje, ahol $\omega$ primitív harmadik egységgyök.
• Bármely diszkrét értékelésgyűrű, például a p-adikus egészek ${\mathbb{\mathbb{Z}}}_p$ gyűrűje.

Nem főideálgyűrűk a következők:

• A $\mathbb{\mathbb{Z}}[X]$ polinomgyűrűben a $(2,X)$ ideál nem generálható egyetlen elemmel.
• A $K[X,Y]$ polinomgyűrű ($K$ test): az $(X,Y)$ ideál nem generálható egyetlen elemmel.

Tulajdonságok

• Ha $R$ PID és $a,b\in R$, akkor a legnagyobb közös osztójuk az $(a,b)$ ideál generátorelemeként kapható meg.
• Minden alaptételes gyűrű (UFD) főideálgyűrű, de a megfordítás nem igaz: $K[X,Y]$ UFD, de nem PID.
• Minden főideálgyűrű Dedekind-gyűrű, ugyanis Noether-tulajdonságú, minden nemnulla prímideál maximális (ennek megfordítása általánosan is igaz) és egészre zárt.
• Egy integritási tartomány akkor és csak akkor PID, ha minden prímideál főideál.
• A főideálgyűrűk pontosan az alaptételes Dedekind-gyűrűk.

További információk

• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Principal ideal domain című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.