Noether-gyűrű

A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a Noether-gyűrű olyan gyűrű, amiben az ideálokra teljesül a maximumfeltétel, azaz ideálok bármely

$I_1\subseteq I_2\dots \subseteq I_k\subseteq I_{k+1}\subseteq \dots$

felszálló lánca stabilizálódik, vagyis létezik olyan $n$, hogy

$I_n=I_{n+1}=\dots$.

Ha a maximumfeltétel csak bal- illetve jobbideálokra igaz, akkor bal- illetve jobb-Noether-gyűrűről beszélünk. A fogalom Emmy Noetherről van elnevezve. Általánosítása a Noether-modulus: egy gyűrű akkor és csak akkor Noether-gyűrű, ha önmaga feletti modulusként Noether-modulus.

Ekvivalens definíciók

A következő definíciók a Noether-tulajdonsággal ekvivalensek:

• Az ideálokra teljesül a maximumfeltétel.
• Ideálok egy tetszőleges halmazában van maximális elem.
• Minden ideál végesen generált.

A feltételek megfelelően átfogalmazhatók bal- illetve jobbideálokra, így a bal- illetve jobb-Noether-tulajdonsággal ekvivalens feltételeket adva. Cohen egy eredménye szerint kommutatív gyűrűkben ezekkel ekvivalens az a látszólag gyengébb kritérium, hogy minden prímideál végesen generált.

Tulajdonságok

• Ha $R$ Noether-gyűrű, akkor Hilbert bázistétele szerint $R[X]$ is az. Indukcióval adódik, hogy $R[X_1,\dots ,X_n]$ is Noether.
• Ha $R$ Noether-gyűrű, akkor $R[[X]]$ is az.
• Ha $R$ Noether és $I\subseteq R$ kétoldali ideál, akkor az $R/I$ faktorgyűrű is Noether. Ekvivalens megfogalmazás: Noether-gyűrű homomorf képe Noether.
• Kommutatív Noether-gyűrű felett végesen generált kommutatív algebra is Noether.
• Egy $R$ gyűrű bal-Noether, ha bármely végesen generált $R$-balmodulus Noether-modulus. (Ugyanúgy jobb-Noether-gyűrűre jobbmodulusokkal.)
• Kommutatív Noether-gyűrű lokalizáltja Noether-gyűrű.
• Az Akizuki–Hopkins-tétel szerint minden (bal-)Artin-gyűrű (bal-)Noether-gyűrű. Továbbá egy bal-Artin-gyűrű akkor és csak akkor jobb-Noether, ha jobb-Artin. (Ugyanígy bal és jobb felcserélésével.)

Példák, ellenpéldák

• Minden test Noether: csak két ideálja van, $(0)$ és önmaga, így a maximumfeltétel triviálisan teljesül.
• Minden főideálgyűrű, például a racionális egészek Noether, mert minden ideált egyetlen (és így véges sok) elem generálja.
• Minden Dedekind-gyűrű Noether, mert minden ideál generálható legfeljebb két (és így véges sok) elemmel.
• Test vagy $\mathbb{\mathbb{Z}}$ felett véges sok változójú polinomgyűrű Noether.

Ahhoz, hogy egy gyűrű ne legyen Noether-tulajdonságú, bizonyos értelemben „nagy” kell legyen. A következő gyűrűk nem Noether-gyűrűk:

• Végtelen sok változójú polinomgyűrű:

$(X_1)⊊(X_1,X_2)⊊\dots ⊊(X_1,X_2,\dots ,X_k)⊊\dots$

megsérti a maximumfeltételt.

• Az algebrai egészek gyűrűje:

$(2)⊊\left(2^{1/2}\right)⊊\left(2^{1/4}\right)\dots ⊊\left(2^{1/2^k}\right)⊊\dots$

megsérti a maximumfeltételt.

• Az $\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ folytonos függvények $C(\mathbb{ℝ},\mathbb{ℝ})$ gyűrűje: ha minden $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$-re

$I_n=\{f\in C(\mathbb{ℝ},\mathbb{ℝ})\mid \mathrm{\forall }x\ge n:f(x)=0\}$,

akkor az

$I_1⊊I_2⊊\dots I_k⊊\dots$

lánc megsérti a maximumfeltételt.

Érdemes kiemelni, hogy egy nem-Noether-gyűrű lehet részgyűrűje egy Noether-gyűrűnek. Például az algebrai egészek gyűrűje részgyűrű a komplex számok testében.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Noetherian ring című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.