Dedekind-gyűrű

A Dedekind-gyűrűk a racionális egészek gyűrűjének általánosításaként foghatók fel, elsősorban az algebrai számelméletben és a kommutatív algebrában bírnak jelentős szereppel. Richard Dedekind német matematikusról vannak elnevezve.

Definíciók

Egy $R$ integritási tartományt Dedekind-gyűrűnek nevezünk, ha teljesül rá a következő ekvivalens feltételek bármelyike:

• Bármely $(0)\ne I\subseteq R$ ideál invertálható.
• Bármely törtideál invertálható.
• $R$ Noether-gyűrű és bármely $\mathfrak{𝔭}\in \mathrm{Spec}R$ prímideálra az $R_{\mathfrak{𝔭}}$ lokalizált test vagy diszkrét értékelésgyűrű.
• $R$ test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és egészre zárt.
• $R$ test vagy egydimenziós, Noether-tulajdonságú és reguláris.
• $R$ bármely ideálja egyértelműen felírható prímideálok szorzataként.

Példák és ellenpéldák

• Minden főideálgyűrű, speciálisan minden diszkrét értékelésgyűrű Dedekind.
• Ha $K$ egy számtest, akkor a $K$-beli algebrai egészek ${{𝒪}}_K$ gyűrűje Dedekind.
• Dedekind-gyűrű lokalizáltja is Dedekind.

Nem Dedekind-gyűrűk a következő integritási tartományok:

• $\mathbb{\mathbb{Z}}[X]$ (nem egydimenziós)
• $\mathbb{\mathbb{Z}}[\sqrt{5}]$ (nem egészre zárt)

Tulajdonságok

• Ha $R$ Dedekind-gyűrű, $(0)\ne I\subseteq R$ ideál, akkor $R/I$ főideálgyűrű.
• Egy Dedekind-gyűrű bármely ideálja generálható legfeljebb két elemmel. Következésképpen minden Dedekind-gyűrű Noether-tulajdonságú.

Források

• Nicholas Schwab, Ferdinand Wagner: Algebra II. (Hozzáférés: 2018. március 2.)
• Hideyuki Matsumura. Commutative Ring Theory. Cambridge University Press (1989). ISBN 0 521 36764 6 

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Dedekindring című német Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.