Abszolútérték-függvény

Az abszolútérték-függvény grafikonja

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív. Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

$|x|$.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

$x\mapsto |x|$

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos $|.|$ jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

$\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ};x\mapsto |x|$

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

$$\begin{gathered} \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}(x) \\ = \\ |x| \\ = \\ \{\begin{array}{ll} \\ x,& \text{ha }x\ge 0,\\ -x,& \text{ha }x<0\end{array} \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}(x) \\ = \\ |x| \\ = \\ x\cdot \mathrm{sgn}(x) \end{gathered}$$ $$\begin{gathered} \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}(x) \\ = \\ |x| \\ = \\ \max \{x,-x\} \end{gathered}$$

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet. Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Példák

$|7|=7$

$|-8|=-(-8)=8$

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

$||x||=|x|$

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x+y|\le |x|+|y|$

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik. A Lipschitz-folytonosság a szubadditivitásból és a fordított háromszög-egyenlőtlenségből következik, ahol a Lipschitz-konstans $L=1$:

$||z|-|w||\le |z-w|$.

Derivált és integrál

Az abszolútérték-függvény a $(-\mathrm{\infty },0)$ halmazon megegyezik az $x\mapsto -x$ függvénnyel, amely minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja $-1$. Hasonlóan, a függvény a $(0,+\mathrm{\infty })$ halmazon megegyezik az $x\mapsto x$ függvénnyel, amely szintén minden nyílt intervallumon differenciálható, és a deriváltja $1$. Emiatt a függvény az $\mathbb{ℝ}\setminus \{0\}$ halmazon differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

${\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}}^{\prime }(x)=\mathrm{s}\mathrm{g}\mathrm{n}(x)x\ne 0$

Korlátos intervallumon integrálható. Egy határozatlan integrálja $x\mapsto \frac{1}{2}{x}^2\mathrm{sgn}(x)$.

Arkhimédészi tulajdonság

Az abszolútérték arkhimédészi norma, azaz, hogyha van egy $n$ egész szám, melyre $|n|>1$, akkor minden $m>1$ egész számra teljesül, hogy $|m|>1$.

Algebrai tulajdonságok

Multiplikativitás

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x\cdot y|=|x||y|$

Iteráció-invariancia

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

$\underset{n\mathrm{d}\mathrm{b}}{\underbrace{||...|}}x\underset{n\mathrm{d}\mathrm{b}}{\underbrace{|...||}}=|x|$

vagy az analízis formalizmusában

$\underset{n\mathrm{d}\mathrm{b}}{\underbrace{\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}\circ \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}\circ ...\circ \mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}}}=\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}$

Abszolútértékes egyenletek és egyenlőtlenségek

A megoldáshoz tudni kell, hogy $|a|=b$ esetén következik, hogy $a=b$ vagy $a=-b$. Hogyha $b<0$, akkor $|a|=-b$. Például szeretnénk megoldani az $|x+3|=5$ egyenletet a valós számokon. A számolás a következő:

$|x+3|=5$

$\iff x+3=5\text{ vagy }x+3=-5$

$\iff x=5-3\text{ vagy }x=-5-3$

$\iff x=2\text{ vagy }x=-8$

Tehát az egyenletnek két megoldása van $x$-re, jelesül 2 és −8. Egyenlőtlenségek esetén alkalmazhatók:

$|a|\le b\iff -b\le a\le b$

$|a|\ge b\iff a\le -b\text{ vagy }b\le a$

Például szeretnénk meg oldani az $|x-3|\le 9$ egyenlőtlenséget a valós számokon. Számolhatunk a következőképpen:

$|x-3|\le 9$

$\iff -9\le x-3\le 9$

$\iff -9+3\le x\le 9+3$

$\iff -6\le x\le 12$

Tehát megoldásként a $[-6,12]$ intervalllum adódik. Általában az $x$, $m$ és $r$ valós számokra:

$|x-m|\le r⟺x\in [m-r,m+r]$.

Általánosítás

Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza. Általában egy algebrában az abszolút érték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Komplex abszolútérték

Legy $z=x+\mathrm{i}y$, ahol $x$, $y$ valós. Ekkor

$|z|=\sqrt{z\cdot \overline{z}}=\sqrt{(x+\mathrm{i}y)\cdot (x-\mathrm{i}y)}=\sqrt{x^2+y^2}$,

ahol $\overline{z}$ a $z$ szám komplex konjugáltja. Hogyha $z$ valós, akkor $y=0$, így $z=x$; ezzel a komplex abszolútérték

$|x|=\sqrt{x^2}$

ami éppen megegyezik a valós abszolútértékkel. A komplex abszolútértékre példa:

$|3+4\mathrm{i}|=\sqrt{(3+4\mathrm{i})\cdot (3-4\mathrm{i})}=\sqrt{3^2-(4\mathrm{i}{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

A komplex abszolútérték nem komplex differenciálható, hiszen csak valós értékeket vesz fel, így nem teljesíti a Cauchy-Riemann-egyenleteket.

Norma

Egy normának három tulajdonságnak kell megfelelnie: definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás. Mivel a valós és a komplex abszolútértéknek megvannak ezek a tulajdonságai, azért mindkettő norma, mégpedig abszolútérték-norma. A definitség következik abból, hogy a négyzetgyökfüggvénynek a nulla az egyetlen nullhelye:

$|z|=0\iff \sqrt{z\overline{z}}=0\Rightarrow z\overline{z}=0\iff z=0$

A homogenitás adódik abból, hogy ha $w,z$ komplex számok, akkor

$|w\cdot z{|}^2=(w\cdot z)\overline{(w\cdot z)}=(w\cdot z)(\overline{w}\cdot \overline{z})=(w\cdot \overline{w})(z\cdot \overline{z})=|w{|}^2\cdot |z{|}^2$

A háromszög-egyenlőtlenség:

$\begin{array}{rl}|w+z{|}^2& =(w+z)\overline{(w+z)}=(w+z)(\overline{w}+\overline{z})=w\overline{w}+w\overline{z}+z\overline{w}+z\overline{z}=\\ & =|w{|}^2+|z{|}^2+w\overline{z}+\overline{w\overline{z}}=|w{|}^2+|z{|}^2+2\mathrm{Re}(w\overline{z})\\ & \le |w{|}^2+|z{|}^2+2|w\overline{z}|=\\ & =|w{|}^2+|z{|}^2+2|w||z|=(|w|+|z|{)}^2,\end{array}$

ahonnan négyzetgyökvonással adódik az eredmény. Itt kihasználtuk, hogy a konjugálás felcserélhető a szorzással és az összeadással. Továbbá azt, hogy a kétszeri konjugálás eredménye a kiindulási komplex szám; illetve, hogy a komplex abszolútérték legalább akkora, mint a valós része. Valós esetben nincs szükség konjugálásra. Az abszolútérték-normát indukálja a skaláris szorzat a valós és a komplex számok fölött. Jelölje $x$ és $y$ a két számot. Az abszolútérték-norma által indukált metrika:

$d(x,y):=|x-y|$,

ahol a távolság két szám különbségének abszolútértéke. A definitség, abszolút homogenitás és szubaddditivitás alapján az abszolútérték tetszőleges vektortérre általánosítható. Az egyértelműség azonban nincs biztosítva.

Egyéb testek fölött

Legyen $D$ integritástartomány, és $\phi$ egy $D\to \mathbb{ℝ}$ függvény! Teljesüljenek még a következő tulajdonságok is:

	$\phi (x)\ge 0$	(0)	Nemnegativitás
	$\phi (x)=0⟺x=0$	(1)	Definitség
			(0) és (1) együtt pozitív definitség
	$\phi (x\cdot y)=\phi (x)\cdot \phi (y)$	(2)	Multiplikativitás, abszolút homogenitás
	$\phi (x+y)\le \phi (x)+\phi (y)$	(3)	Szubadditivitás, háromszög-egyenlőtlenség

A $\phi$ függvény kiterjesztése a hányadostestre a multiplikativitás miatt egyértelmű. Ezekkel a tulajdonságokkal a $\phi$ függvény a hányadostest értékelése. Ha $\phi (n)\le 1$ minden $n:=\underset{n\text{-szer}}{\underbrace{1+\cdots +1}}$ természetes számra, akkor a norma vagy az értékelés nemarkhimédészi. A $\phi (x)=1$ minden $x\ne 0$ esetben triviális nemarkhimédészi norma vagy értékelés. Nemarkhimédészi esetben teljesül

$\phi (x+y)\le \max (\phi (x),\phi (y))$

(3’)

az éles háromszög-egyenlőtlenség.

Emiatt a norma ultrametrikus. Megfordítva, minden ultrametrikus norma nemarkhimédészi.

• Ha egy integritástartománynak van arkhimédészi normája, akkor karakterisztikája nulla.
• A nem nulla (azaz prímszám) karakterisztikájú integritástartományoknak csak nemarkhimédészi normája lehet.
• A véges integritástartományok prímkarakterisztikájú véges testek, ahol csak a triviális norma létezik.
• A racionális számok $\mathbb{\mathbb{Q}}$ teste, mint prímtest karakterisztikája nulla, és véges bővítésein mind arkhimédészi, mint nemarkhimédészi normák vannak.
• Az Ostrowski-tétel szerint a racionális számokon egyetlen arkhimédészi norma van (ami euklideszi is). A többi norma nemarkhimédészi p-adikus norma, ahol a p betű prímszámra utal. Mindezekre érvényes az approximációs tétel.

Ha $K$ test, akkor a rajta normával indukált metrikák teljessé tehetők. Az így teljessé tett testet $\hat{K}$ jelöli. A racionális számok arkhimédészi teljessé tételei $\widehat{\mathbb{\mathbb{Q}}}=\mathbb{ℝ}$ és $\widehat{\mathbb{\mathbb{Q}}(\mathrm{i})}=\widehat{\mathbb{\mathbb{Q}}}(\mathrm{i})=\mathbb{ℂ}$. A nemarkhimédészi teljessé tételek $\widehat{\mathbb{\mathbb{Q}}}={\mathbb{\mathbb{Q}}}_p$ minden $p$ prímre. A triviális norma kiterjesztése is triviális. Legyenek $\phi$ és $\psi$ egy $K$ test normái vagy értékelései! Ekkor a következők:

1. Minden $\{x_{\nu }\}$ sorozat, ami $\phi$ szerint nullsorozat, azaz $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\nu \to \mathrm{\infty }}\phi (x_{\nu })=0$, akkor $\psi$ szerint is nullsorozat – és megfordítva.
2. Ha $\phi (x)<1$, akkor $\psi (x)<1$.
3. $\psi$ a $\phi$ hatványa, vagyis $\psi (x)=\phi (x{)}^{ϵ}$ minden $x$ esetén egy előre rögzített $ϵ>0$ számmal.

Lásd még

• szignumfüggvény
• norma (matematika)

Hivatkozások

• Weisstein, Eric W.: Absolute value (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Alice és Bob – 17. rész: Alice és Bob ókori haverja

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Betragsfunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.