Négyzetgyök

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). A gyökvonás azon esete, amikor $n=2$. Az $a$ szám négyzetgyökének jele: $\sqrt{a}$ A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen $a$-nak és $-a$-nak ugyanúgy $a^2$ a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív. A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük. A racionális számok közül csak azoknak a négyzetgyöke lesz racionális, melyek felírhatók két négyzetszám hányadosaként. Így például a $\sqrt{2}$ is irracionális, melyet már az ókorban bebizonyítottak. A gyökjel a kis r betűből alakult ki, a jobb ág meghosszabbításával. A 16. században jelent meg. Eredetileg az r betűt a latin radix szó rövidítéseként a radikandus elé írták. Ha a radikandus bonyolultabb kifejezés volt, akkor zárójelbe tették. Így használta még Gauss is. A négyzetgyök angol nevéből származik a sok programnyelvben használt sqrt jelölés.

Definíció a valós számok halmazán

Ha a nem negatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

$$\begin{gathered} b=\sqrt{a}⟺b^2=a, \\ a\ge 0, \\ b\ge 0 \end{gathered}$$

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

A valós négyzetgyökfüggvény

A négyzetgyökfüggvény grafikonja

Kettős logaritmikus ábrázolásban a négyzetgyökfüggvény grafikonja egy 1/2 meredekségű egyenes

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek szoktuk nevezni:

$$\begin{gathered} f: \\ \mathbb{ℝ}\setminus {\mathbb{ℝ}}^{-}\to \mathbb{ℝ}x\mapsto \sqrt{x} \end{gathered}$$

Ekvivalensen, jelölje q azt a függvényt, ami a valós számokhoz a négyzetüket rendeli. Ha ezt leszűkítjük a nemnegatív számokra, akkor inverze a négyzetgyökfüggvény lesz:

$\begin{array}{rl}q:[0;\mathrm{\infty }[& \to [0;\mathrm{\infty }[\\ x& \mapsto y=x^2\end{array}$

A valós számokon értelmezett négyzetre emelés függvény nem injektív és nem szürjektív, így nem invertálható függvény. A nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény viszont invertálható, inverze a négyzetgyökfüggvény. Mivel a nemnegatív számokon értelmezett négyzetre emelés függvény értékkészlete csak nemnegatív számokat tartalmaz, azért a négyzetgyök csak ezekre a számokra értelmezhető. A korlátozás miatt a négyzetgyökfüggvény értékei sem negatívak. A négyzetre emelés függvénynek más invertálható korlátozásai is vannak, ám ezek inverzét nem tekintjük négyzetgyökfüggvénynek. A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja $\frac{\mathrm{d}\sqrt{x}}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges. Értelmezési tartományának minden $[a,b]$ zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye $F(x)=\frac{2}{3}\cdot (\sqrt{x}{)}^3$.

Tulajdonságai

• Mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza:

$D_f=R_f={\mathbb{ℝ}}_0^{+}$

• Szigorúan monoton növekvő, azaz:

$x_1<x_2:\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$

• Zérushelye: x=0
• Szélsőérték:
  • Minimuma: x=0, f(x)=0
  • Maximuma nincs
• Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

Példák

Négyzetszámok és négyzetgyökeik

Radikandus	Négyzetgyök		Radikandus	Négyzetgyök
1	1		121	11
4	2		144	12
9	3		169	13
16	4		196	14
25	5		225	15
36	6		256	16
49	7		289	17
64	8		324	18
81	9		361	19
100	10		400	20

Számolás négyzetgyökökkel

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$, ha $a\ge 0,b\ge 0$
• $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{-a}\cdot \sqrt{-b}$, ha $a\le 0,b\le 0$
• $0\le a<b⟺0\le \sqrt{a}<\sqrt{b}$, mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
• $\sqrt{a^2}=|a|$ tetszőleges a valós számra.
• ellenben $(\sqrt{a}{)}^2=a$ csak akkor teljesül, ha a nem negatív

A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák

• I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

• II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

Komplex négyzetgyökfüggvény

A komplex négyzetgyökvonás szögfelezést tartalmaz. Példa: $\sqrt{\mathrm{i}}$

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív; azonban a valós esettel ellentétben szürjektív, azaz minden komplex szám előáll négyzetként. Leszűkítéssel injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől. A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

$D_H:=\{x+\mathrm{i}y\in \mathbb{ℂ}\mid y>0\text{ vagy }(y=0,x\ge 0)\}$

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető. Az egyetlen mellékág $-\sqrt{z}.$ A Descartes-koordinátákkal adott $z=x+\mathrm{i}\mathrm{y}$ komplex szám esetén, ahol $x$, $y$ valósak, a főérték

$\sqrt{z}=\sqrt{x+\mathrm{i}\mathrm{y}}=\sqrt{\frac{|z|+x}{2}}+\mathrm{i}\cdot \mathrm{s}\mathrm{g}{\mathrm{n}}^{\mathrm{+}}(y)\cdot \sqrt{\frac{|z|-x}{2}}$

ahol a $\mathrm{s}\mathrm{g}{\mathrm{n}}^{\mathrm{+}}$ függvény értéke nempozitív $y$ esetén  −1.

${\text{sgn}}^{+}(y)=\{\begin{array}{ll}+1& \text{ ha }y\ge 0\\ -1& \text{ ha }y<0\end{array}$

Polárkoordinátákkal a művelet egyszerűbben elvégezhető. Legyen a radikandus a $z$ komplex szám, melynek polárkoordinátás alakja

$z=r\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\phi }},$

ahol $\phi$ és $r$ valósak úgy, hogy $r>0$ és $-\pi <\phi \le \pi$! Ekkor a főérték:

$w_1=\sqrt{r}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{\phi }/\mathrm{2}}$

és a mellékérték ennek mínusz egyszerese:

$w_2=\sqrt{r}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{(}\mathrm{\phi }/\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{\pi }\mathrm{)}}$

A négyzetgyökök abszolútértéke a radikandus abszolútértékének négyzetgyöke. A főérték argumentuma a radikandus argumentumának fele. A mellékérték az origóra való tükrözéssel adódik. Ha $z=x+\mathrm{i}y$ komplex szám, akkor argumentuma az $\mathrm{\angle }(EOZ)$ szög, ahol a pontok valós koordinátái $E(1;0),$ az egy valós szám, $O(0;0)$ a nulla valós szám és $Z(x;y)$. A komplex számokra nem teljesül az

$(a\cdot b{)}^r=a^r\cdot b^r\text{(P)}$ hatványtörvény, hogyha $r=1/2$ és $a,b\in \mathbb{ℂ}$. Ez megmutatható az $a=b=:z$ esetben:

$\sqrt{z^2}={\left(\sqrt{z}\right)}^2,$

ahonnan az ${\left(\sqrt{z}\right)}^2=z$ azonosság miatt

$\sqrt{z^2}=z$

amire a negatív számok ellenpéldák. Ha például $z=-1$, akkor $(-1{)}^2=1$ és $\arg (1)=0$ miatt $\sqrt{(-1{)}^2}$ főértékének argumentuma $\arg (\sqrt{1})=0/2=0$, holott $-1$ főértékének argumentuma $\arg (-1)=\pi$. Mivel pozitív radikandusok esetén a főértéknek pozitívnak kell lennie, így a példa azt is megmutatja, hogy nem létezhet olyan komplex gyökfüggvény, amelyre a hatványtörvény teljesül. Azonban a hatványtörvény teljesül, ha a két oldalon nem kell egyezniük az előjeleknek. A következő képeken $z$ és a $w_1$ négyzetgyök argumentumát színezés jelöli.

• Komplex négyzetgyök
• 
  A négyzetgyök egyik ága
• 
  A négyzetgyök másik ága
• 
  A négyzetgyökfüggvény Riemann-felülete megmutatja, hogyan mennek át egymásba az ágak

Számítása

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Valós számok

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

• Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

• Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása: 1² < 2 és 2² > 2 miatt az első jegy 1. 1,4² = 1,96 < 2 és 1,5² = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

• Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x² - a függvényre. Gyors konvergenciája miatt számológépek programozására használják.
• A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:

$\begin{array}{rl}\sqrt{x+1}& =1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}(2n-2)!}{n!(n-1)!2^{2n-1}}{x}^n\\ & =1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4\pm \dots \end{array}$

• CORDIC-algoritmus a gépi számításokhoz
• Grafikus módszer: a Pitagorasz-tételen alapszik

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Komplex számok

Egy z komplex szám négyzetgyökei

Ha $z=x+iy$ a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke

$\sqrt{z}=\sqrt{x+iy}=\mathrm{sgn}(y)\sqrt{\frac{|z|+x}{2}}+i\cdot \sqrt{\frac{|z|-x}{2}}$

ahol sgn(y) a szignumfüggvény. Az egyetlen mellékág a $-\sqrt{z}$. A polárkoordinátákban adott $z=|z|\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\cdot (\arg (z)+2n\pi )}$ négyzetgyökei így számíthatók:

$\sqrt{z}=\sqrt{|z|}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\arg (z)/2+n\pi )},$

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg. Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja. Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög. Példaként keressük a $z=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}.$ komplex szám négyzetgyökét. Ehhez kiszámítjuk az abszolútértékét:

$|z|=|-1+\mathrm{i}\sqrt{3}|=\sqrt{(-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$

Tehát a főérték

$\begin{array}{rl}{w}_1& =\sqrt{\frac{2+(-1)}{2}}+\mathrm{i}\cdot \mathrm{s}\mathrm{g}{\mathrm{n}}^{\mathrm{+}}(\sqrt{3})\cdot \sqrt{\frac{2-(-1)}{2}}\\ & =\sqrt{\frac{1}{2}}+\mathrm{i}\cdot (+1)\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{2}\cdot (\frac{1}{2}+\mathrm{i}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3})\end{array}$

és a mellékérték

$w_2=-w_1=\sqrt{2}\cdot (-\frac{1}{2}-\mathrm{i}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3})$

Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben

Ha egy n természetes számra $n\ge 2,$ akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a $\mathbb{\mathbb{Z}}/n\mathbb{\mathbb{Z}}$ maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

$q^2\equiv x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

• Prímtényezős alakba írjuk az n számot
• Megoldjuk a kongruenciát a felbontásban szereplő minden prímhatványra
• Összevetjük ezeket a megoldásokat a kínai maradéktétel szerint.

Prímszám modulus

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására. Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk. A kérdést az

$\left(\frac{x}{p}\right)\equiv x^{\frac{p-1}{2}}modp$

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:

$\left(\frac{x}{p}\right)=\{\begin{array}{ll}-1,& \text{ha }x\text{ nemkvadratikus maradék modulo }p\text{ ist}\\ 0,& \text{ha }x\text{ és }p\text{ nem relatív prímek }\\ 1,& \text{ha }x\text{ kvadratikus maradék modulo }p\text{ ist}\end{array}$.

Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

• p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

$q\equiv \pm x^{\frac{p+1}{4}}modp$

• p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható: Választunk egy r számot, hogy:

$\left(\frac{r^2-4x}{p}\right)=-1$

legyen. Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:

$W_n=\{\begin{array}{ll}{r}^2/x-2,& \text{ ha }n=1\\ W_{n/2}^2-2,& \text{ ha }n\text{ ps}\\ W_{(n+1)/2}{W}_{(n-1)/2}-W_1,& \text{ ha }n>1\text{ ptlan}\end{array}$.

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

$q\equiv \pm \frac{x}{2r}(W_{\frac{p-1}{4}}+W_{\frac{p+3}{4}})modp$

Példa: Legyen $x=3$ és $p=37$! Ekkor a fenti képlet alapján a négyzetgyökök

$q\equiv \pm \frac{x}{2r}(W_9+W_{10})mod37$

Próbálgatással egy megfelelő $r$ érték $r=2$, mivel:

$\left(\frac{r^2-4x}{p}\right)\equiv (r^2-4x{)}^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-8{)}^{18}\equiv 36\equiv -1mod37$

A $W_9$ és $W_{10}$ értékekre adódik, hogy:

$\begin{array}{cccccccc}{W}_1& \equiv & r^2/x-2& \equiv & 4/3-2& \equiv & 24& mod37\\ W_2& \equiv & W_1^2-2& \equiv & 24^2-2& \equiv & 19& mod37\\ W_3& \equiv & W_1{W}_2-W_1& \equiv & 24\cdot 19-24& \equiv & 25& mod37\\ W_4& \equiv & W_2^2-2& \equiv & 19^2-2& \equiv & 26& mod37\\ W_5& \equiv & W_2{W}_3-W_1& \equiv & 19\cdot 25-24& \equiv & 7& mod37\\ W_9& \equiv & W_4{W}_5-W_1& \equiv & 26\cdot 7-24& \equiv & 10& mod37\\ W_{10}& \equiv & W_5^2-2& \equiv & 7^2-2& \equiv & 10& mod37\\ \end{array}$

Behelyettesítéssel

$q\equiv \pm \frac{x}{2r}(W_9+W_{10})\equiv \pm \frac{3}{4}(10+10)\equiv \pm 15mod37.$

Tehát 3 négyzetgyökei modulo 37 15 és 22 modulo 37.

Mátrixok négyzetgyökei

Ha $A$ négyzetes mátrix, akkor négyzetgyöke minden $B$ mátrix, melyet önmagával szorozva az $A$ mátrixot kapjuk:

$A=B\cdot B\iff B\text{ ist Wurzel von }A$

A gyökvonás a többi esethez hasonlóan nem egyértelmű. Azonban, ha pozitív definit szimmetrikus mátrixok pozitív definit szimmetrikus gyökét keressük, akkor a válasz egyértelmű. A négyzetgyök kiszámítása:

• A radikandust ortogonális mátrixszal diagonizáljuk (spektráltétel miatt lehetséges).
• Az átlós elemekből négyzetgyököt vonunk, mindig a pozitív értéket választva. Lásd: Cholesky-felbontás
• Visszatérünk az eredeti bázisba.

Az egyértelműség következik abból, hogy az exponenciális leképezés diffeomorfizmus a szimmetrikus mátrixok vektorterében a pozitív definit mátrixokra.

Integráloperátor közelítésének négyzetgyöke

Legyen $G$ integrálfüggvény, és legyen $G,g_i:=g(x_i)$, ahol az $x_i$ pontokra $x_i=i\mathrm{\Delta }x$ és $i=0,1,\dots ,n-1$. Legyen továbbá $F,f_i:=f(x_i)$ függvény, és használjuk az $G=FI$ közelítést! Példánkban a mátrix mérete $n=4$:

$G=FI=\left(\begin{array}{cccc}{g}_0& g_1& g_2& g_3\\ 0& g_0& g_1& g_2\\ 0& 0& g_0& g_1\\ 0& 0& 0& g_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{f}_0& f_1& f_2& f_3\\ 0& f_0& f_1& f_2\\ 0& 0& f_0& f_1\\ 0& 0& 0& f_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{\Delta }x& \mathrm{\Delta }x& \mathrm{\Delta }x& \mathrm{\Delta }x\\ 0& \mathrm{\Delta }x& \mathrm{\Delta }x& \mathrm{\Delta }x\\ 0& 0& \mathrm{\Delta }x& \mathrm{\Delta }x\\ 0& 0& 0& \mathrm{\Delta }x\end{array}\right)$

Ez a művelet megismételhető, így kapjuk a $H,h_i:=h(x_i)$ kettős integrált:

$H=GI=FII=F{I}^2$

így az $I$ mátrix felfogható numerikusan közelített integráloperátorként. Az $I$ mátrix nem diagonizálható, és Jordan-normálformája:

$\left(\begin{array}{cccc}\mathrm{\Delta }x& 1& 0& 0\\ 0& \mathrm{\Delta }x& 1& 0\\ 0& 0& \mathrm{\Delta }x& 1\\ 0& 0& 0& \mathrm{\Delta }x\end{array}\right)$

Ebből négyzetgyököt úgy lehet vonni, mint nem diagonizálható mátrixokból. De ebben a speciális esetben van közvetlenebb formális megoldás:

$I^{\beta }=\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_0& {\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\\ 0& {\alpha }_0& {\alpha }_1& {\alpha }_2\\ 0& 0& {\alpha }_0& {\alpha }_1\\ 0& 0& 0& {\alpha }_0\end{array}\right)$

ahol ${\alpha }_0=(\mathrm{\Delta }x{)}^{\beta }$, ${\alpha }_k=\sum _{j=1}^k\frac{\mathrm{\Gamma }(\beta +1)(-1{)}^{j+1}{\alpha }_{k-j}}{\mathrm{\Gamma }(j+1)\mathrm{\Gamma }(\beta -j+1)}$ és $k=1,2,\dots ,n-1$. Itt $\alpha$ a diagonális indexe (a főátlóé nulla), és a $\beta$ kitevő $\frac{1}{2}$. Hogyha behelyettesítjük a $\mathrm{\Delta }x$ pozitív valós számot, így $(\mathrm{\Delta }x{)}^{\frac{1}{2}}$ valós, és fdefiníciója alapján pozitív. Így az $f(x)$ $L,l_i:=l(x_i)$ „fél” határozott integrálja numerikusan közelíthető:

$L=F{I}^{\beta }=\left(\begin{array}{cccc}{l}_0& l_1& l_2& l_3\\ 0& l_0& l_1& l_2\\ 0& 0& l_0& l_1\\ 0& 0& 0& l_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{f}_0& f_1& f_2& f_3\\ 0& f_0& f_1& f_2\\ 0& 0& f_0& f_1\\ 0& 0& 0& f_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\alpha }_0& {\alpha }_1& {\alpha }_2& {\alpha }_3\\ 0& {\alpha }_0& {\alpha }_1& {\alpha }_2\\ 0& 0& {\alpha }_0& {\alpha }_1\\ 0& 0& 0& {\alpha }_0\end{array}\right)$

Hogyha keressük az összes olyan operátort, ami önmagával szorozva az $I$ közelítő integráloperátort adja, akkor be kell tenni a negatív előjelet, így a két megoldás $\pm I^{\frac{1}{2}}$. A levezetéshez invertálni kell $I$-t, azt eredményt a $\beta$ hatványra emelni, és újra invertálni.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratwurzel című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.