Rendezési egyenlőtlenség

Innen: Hungaropédia
A lap korábbi változatát látod, amilyen 2a01:36d:118:c377:9525:1726:cc06:23 (vitalap) 2023. szeptember 12., 20:01-kor történt szerkesztése után volt. (A Csebisev-egyenlőtlenség hivatkozása a megfelelő oldalra irányít.)
(eltér) ← Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Ugrás a navigációhozUgrás a kereséshez

A rendezési egyenlőtlenség (más néven rendezési tétel vagy Szűcs Adolf egyenlőtlenség)[1] azt mondja ki, miszerint

xny1++x1ynxσ(1)y1++xσ(n)ynx1y1++xnyn

minden

x1xnésy1yn

esetén, minden

xσ(1),,xσ(n)

permutációra. Amennyiben a feltételek x-re és y-ra szigorúak, azon esetben az egyenlőtlenség:

xny1++x1yn<xσ(1)y1++xσ(n)yn<x1y1++xnyn

Felhasználások

Számos egyenlőtlenség bizonyítható a rendezési tétel felhasználásával, például a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség, Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség és a Csebisev-összegegyenlőtlenség.

Bizonyítás

A rendezési egyenlőtlenség bizonyítható indirekt módon: n=2-re: (a2-a1)(b2-b1)0. Kibontás és átrendezés után éppen a kívánt egyenlőtlenség jön ki. Ezután tegyük fel, hogy a legnagyobb értéket nem akkor veszi fel az összeg, amikor minden i-re ai és bi van párosítva. Ekkor van legalább egy olyan ai – bj és ak – bl párosítás, ahol i<j és k>l. Ekkor azonban az n=2-re használt módszerrel látható, hogy az érték nem csökken, amennyiben az i – l és k – j párokat vesszük, amely azonban ellentmond annak, miszerint van nagyobb. A minimális tag is hasonló módon bizonyítható.

Fordítás

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Rearrangement inequality című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

Jegyzetek

  1. A.II.2.40. matkonyv.fazekas.hu. (Hozzáférés: 2020. november 10.)