Csebisev-egyenlőtlenség

Innen: Hungaropédia
Ugrás a navigációhozUgrás a kereséshez

A Csebisev-egyenlőtlenség a valószínűségszámítás egyik egyenlőtlensége. Nevét Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikusról kapta. Lényege, hogy jelentőséget ad a szórásnak, azaz arra ad becslést a szórás felhasználásával, hogy egy valószínűségi változó mekkora eséllyel tér el egy előre adott mértéknél jobban a várható értéktől.

Állítás

Formálisan, legyen X véges szórású valószínűségi változó, várható értéke

μ:=E(X)

és szórásnégyzete

σ2:=Var(X).

Ekkor a k>0 valós számokra

P[|Xμ|k]σ2k2.

A komplementer eseményre

P[|Xμ|<k]1σ2k2.

A becslés jósága

A Csebisev-egyenlőtlenség éles abban az értelemben, hogy vannak valószínűségi változók, amelyekre a becslés egyenlőséggel teljesül. Legyen például X diszkrét valószínűségi változó, és

P[X=0]=1p

továbbá

P[X=a]=P[X=a]=p/2,

ahol a egy pozitív szám, és p(0,1). Ekkor μ=E(X)=0 és σ2=Var(X)=a2p, így a becslés

P(|X0|k)a2pk2

ami k=a esetén egyenlőséggel teljesül, mivel ekkor P(|X|k)=P(|X|a)=p. Általában a becslés nem sokat mond. Például, ha kσ, akkor a becslés triviális. A tétel mégis gyakran hasznos, mivel ehhez nem kell ismerni az eloszlást, és minden véges szórású valószínűségi változóra alkalmazható, még a normális eloszlástól távol állókra is. A korlátok is egyszerűen meghatározhatók.

Változatok

Standard eltéréssel

Ha a σ standard eltérés nem nulla, és λ pozitív, akkor a k=λσ helyettesítéssel az egyenlőtlenség gyakran idézett alakját kapjuk:

P[|Xμ|λσ]1λ2.

Ez csak λ>1 esetén ad érdemi becslést, mivel a 0<λ1 esetben triviális, hiszen a valószínűségek sosem nagyobbak 1-nél.

Magasabb momentumokra

Az egyenlőtlenség magasabb momentumokra is általánosítható. Ezt nem ritkán szintén Csebisev-egyenlőtlenségnek nevezik,[1] A valószínűségszámításban ez inkább Markov-egyenlőtlenségként ismert.[2][3] Néhány szerző a Csebisev-Markov elnevezést használja.[4] Az egyenlőtlenség azt mondja, hogy ha (Ω,Σ,ν) mértéktér, f:Ω0+ mérhető függvény, és ε,p+, akkor teljesül, hogy:

ν({xf(x)ε})1εpΩfpdν.

Ez következik abból, hogy:

Ωfpdν{xf(x)ε}fpdν{xf(x)ε}εpdν=εpν({xf(x)ε})

Ebből speciális esetben adódik az eredeti egyenlőtlenség, ha ν=P, f=|Xμ| és p=2, akkor :P(|Xμ|k)=P(|Xμ|2k2)1k2Ω|Xμ|2dP=σ2k2.

Példák

1. példa

A példa kedvéért tegyük fel, hogy egy Wikipédián a cikkek hosszának várható értéke 1000 bájt, a szórás 200 bájt! Ekkor a Csebisev-egyenlőtlenség szerint a cikkek legalább 75%-ának hossza 600 és 1400 közé esik (k=400,μ=1000,σ=200). A számítás:

P[|X1000|<400]120024002=0,75=75%

2. példa

Az egyenlőtlenség egy másik alkalmazása az, hogy ha egy véges szórású valószínűségi változó várható értéke μ és szórása σ, akkor az értékek fele az (μ2σ,μ+2σ) intervallumba esik.

3. példa

Egy véletlen esemény p valószínűséggel következik be. A kísérletet n-szer végzik el, az esemény k-szor következik be. Ekkor k binomiális eloszlású, várható értéke np, szórásnégyzete np(1p); a bekövetkezés relatív gyakorisága kn, ennek várható értéke p és szórásnégyzete p(1p)n. A Csebisev-egyenlőtlenség szerint a relatív gyakoriság eltérése a várható értéktől

P[|knp|ϵ]p(1p)ϵ2n14ϵ2n,

ahol a második becslést a számtani és mértani közepek egyenlőtlenségéből következő p(1p)12 adja. Ez a forma már a nagy számok gyenge törvényének speciális esete, ami a relatív gyakoriságok sztochasztikus konvergenciáját mutatja a várható értékhez. Ennél a példánál a Csebisev-egyenlőtlenség csak durva közelítést ad, pontosabb becslést a Chernoff-egyenlőtlenség szolgáltat.

Alkalmazások

Bizonyítása

A legtöbb szerző a Markov-egyenlőtlenségből vezeti le. A Markov-egyenlőtlenség

P[Yk]E[h(Y)]h(k).

ahol Y=|Xμ| és h(x)=x2.[6][7][8] Önálló bizonyítás található például Wirthsnél.[9] Legyen

Ak={ωΩ|Xμ|k}.

és jelölje 1A az A halmaz indikátorfüggvényét. Ekkor minden ω esetén teljesül az

|X(ω)μ|2k21Ak(ω)

egyenlőtlenség. Ha ωAk, akkor a jobb oldal nulla, és az egyenlőtlenség teljesül. Ha ωAk, akkor definíció szerint a bal oldalon az Ak halmaz definíciója szerint tartalmaz legalább egy k2 értéket, így az egyenlőtlenség megint teljesül. A várható érték monotonitása miatt és a vele való számolás szabályai miatt a szórásnégyzet írható, mint

σ2=Var(X)=E(|Xμ|2)E(k21Ak)=k2P(Ak)=k2P(|Xμ|k).

k2-tel osztva az egyenlőtlenség az állításban megadott alakot ölti.[10]

Története

Csebisev a diszkrét valószínűségi változókra bizonyította a tételt, és ezt 1867-ben jelentette meg Szentpéterváron és Párizsban, ott Joseph Liouville újságjában, aminek címe Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Azonban egy általánosabb bizonyítás már 1853-ban megjelent Irénée-Jules Bienaymé tollából, a Considérations a l’appui de la découverte de Laplace sur la loi de probabilité dans la méthode des moindres carrés. című lapban. Ez nem sokkal Csebisev cikkének megjelenése előtt újra közölte a cikket, és Csebisev elismerte Bienaymé elsőbbségét.[11][12]

Jegyzetek

  1. Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. 1972, S. 84–85 & S. 227
  2. A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 572
  3. R. G. Laha, V. K. Rohatgi: Probability Theory. 1979, S. 33
  4. Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 1992, S. 128
  5. Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 69 ff
  6. Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6 
  7. Hans-Otto Georgii. Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 4., Berlin: Walter de Gruyter (2009). ISBN 978-3-11-021526-7 
  8. Klaus D. Schmidt. Maß und Wahrscheinlichkeit, 2., átnézett, Heidelberg Dordrecht London New York: Springer-Verlag (2011). ISBN 978-3-642-21025-9 
  9. H. Wirths: Der Erwartungswert – Skizzen zur Begriffsentwicklung von Klasse 8 bis 13. In: Mathematik in der Schule 1995/Heft 6, S. 330–343
  10. Ehrhard Behrends. Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Wiesbaden: Springer Spektrum (2013). ISBN 978-3-8348-1939-0 
  11. Chebyshev, Pafnutii Lvovich
  12. V.V. Sazonov: Bienaymé, Irenée-Jules

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Tschebyscheffsche Ungleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.