Pentáció

Az x[5]2 kifejezés első három értéke. A 3[5]2 értéke körülbelül 7,626 × 1012; a magasabb x értékek, például a 4[5]2, ami körülbelül 2,361 × 108,072 × 10153, túl nagyok ahhoz, hogy megjelenjenek a grafikonon.

A matematikában a pentáció (vagy hiper-5) a tetráció utáni, de hexáció előtti következő hiperoperáció (végtelen sorozat az aritmetikai műveletekből). Definiálva van úgy, mint az ismételt tetráció (feltételezve a jobbra asszociatív jellegzetességet), éppen úgy, ahogy a tetráció az ismételt jobbra asszociatív hatványozás. Ez egy bináris művelet, két számra, ahol az 'a' önmagával 'b-1' alkalommal tetrált. Például, a pentációra és tetrációra vonatkozó hiperoperációs jelölést használva, $2[5]3$ azt jelenti, hogy 2-ször tetrázod önmagával a 2-t, vagyis $2[4](2[4]2)$ Ezt aztán le lehet redukálni $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65536$.

Etimológia

A "pentation" szót Reuben Goodstein találta ki 1947-ben a penta- (öt) és az iterációból. Ez része a hiperműveletek általános elnevezési rendszerének

Jelölése

Kevés az egyetértés a pentáció jelölésével kapcsolatban; mint ilyen, a művelet megírásának sokféle módja van. Néhányat azonban jobban használnak, mint mások, és néhánynak egyértelmű előnyei vagy hátrányai vannak másokhoz képest.

• A pentáció hiperműveletként írható fel, mint $a[5]b$.
• Knuth felfelé mutató nyíl jelölésével, $a[5]b$-ként van ábrázolva a $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ vagy $a{\uparrow }^{3}b$. Ebben a jelölésben a hatványozási függvényt jelenti $a^b$ és a $a\uparrow \uparrow b$ tetraciót jelent.
• Egy másik javasolt jelölés a $b_{}a$, bár ez nem terjeszthető ki magasabb hiperműveletekre

Példák

Mivel a tetraciót, annak alapműveletét nem terjesztették ki nem egész magasságra, pentációra $a[5]b$ jelenleg csak a és b egész értékeire van definiálva, ahol a > 0 és b ≥ -2, valamint néhány egyéb egész értékre, amelyek egyedileg definiálhatók . Mint minden 3-as (hatványozásnál) és magasabb rendű hiperműveletnél, a pentációnak a következő triviális esetei (azonosságai) vannak, amelyek a tartományán belül a és b minden értékére érvényesek :

• $1[5]a=1$
• $a[5]1=a$

Ezen kívül a következőket is meghatározhatjuk:

• $a[5]2=a[4]a$
• $a[5]0=1$
• $a[5](-1)=0$
• $a[5](-2)=-1$
• $a[5](b+1)=a[4](a[5]b)$

A fent bemutatott triviális eseteken kívül a pentáció rendkívül nagy számokat generál nagyon gyorsan, így csak néhány nem triviális eset van, amely hagyományos jelöléssel írható számokat eredményez, amint az alábbiakban látható:

• $2[5]2=2[4]2=2^2=4$
• $2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536$
• $2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}\text{ (a power tower of height 65,536) }\approx {\exp }_{10}^{65,533}(4.29508)$

(Itt iterált exponenciális jelöléssel látható, mivel túl nagy ahhoz, hogy hagyományos jelöléssel lehessen írni.) $2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}\text{ (a power tower of height 2[4]65,536) }\approx {\exp }_{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)$$3[5]2=3[4]3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$ $3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}\text{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }\approx {\exp }_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$$3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}\text{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }\approx {\exp }_{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)$$4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^4}}=4^{4^{256}}\approx {\exp }_{10}^3(2.19)$ (egy több mint $10^{153}$ számjegyből álló szám) $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx {\exp }_{10}^4(3.33928)$ (egy több mint $10^{10^{2184}}$ számjegyből álló szám)

Kapcsolódó szócikkek

• Ackermann-függvény
• Graham-szám