Lánc (komplex analízis)

A komplex analízisben és az algebrai topológiában a lánc és a ciklus matematikai objektumok; a lánc a görbe, a ciklus a zárt görbe általánosítása. A komplex analízisben főként integrációhoz használják. Az algebrai topológiában a lánc és a ciklus a homológiaelmélet speciális esetei. Ezt kiemelendő használják az 1-lánc és az 1-ciklus elnevezéseket is, mivel itt további általánosításokat is tekintenek, így szó esik p-láncról és p-ciklusról.

Definíciók

Lánc

Egy $X:=\mathbb{ℂ}$-beli lánc, illetve egy $X$ Riemann-felületen levő lánc formálisan értelmezve görbék egész számokkal vett lineáris kombinációja:

$\mathrm{\Gamma }:=\sum _{i=1}^k{n}_i{\gamma }_i{n}_i\in \mathbb{\mathbb{Z}}$

ahol minden ${\gamma }_i:[0,1]\to X$ folytonos görbe. Az $X$ halmaz láncai Abel-csoportot alkotnak az összefűzésre, ez a $C_1(X)$ csoport.

Integrálás láncon

Legyen $\omega$ zárt komplex (1,0)-differenciálforma, ekkor a $\mathrm{\Gamma }$ láncon vett integrál nem más, mint

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\omega :=\sum _{i=1}^k{n}_i\underset{{\gamma }_i}{\int }\omega .$

Ha $X$ éppen a komplex számsík, akkor az integrál a differenciálformák nélkül is értelmezhető. Ekkor ugyanis $\omega =f(z)\mathrm{d}z$ alakban írható, ahol $f:D\subset \mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ differenciálható függvény. Ezzel a definíció az

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)\mathrm{d}z:=\sum _{i=1}^k{n}_i\underset{{\gamma }_i}{\int }f(z)\mathrm{d}z$.

alakot ölti.

Ciklus

A ciklus egy olyan lánc, amiben minden $a\in \mathbb{ℂ}$ komplex szám multiplicitással ugyanannyiszor kezdő- mint végpont. A definíció felírható a $\mathrm{Div}(X)$ divizorcsoporttal. Legyen :$\partial :C_1(X)\to \mathrm{Div}(X)$ egy leképezés! Egy $c:[0,1]\to X$ görbe esetén helyettesíthetünk úgy, hogy $\partial c=0$ legyen, ha $c(0)=c(1)$. Különben $\partial c$ divizor, ami $c(1)$-ben a +1, $c(0)$-ban a -1 értéket veszi fel, különben nulla. Egy $\mathrm{\Gamma }$ lánc esetén $\partial$ definíció szerint $\partial \mathrm{\Gamma }:={\sum }_{i=1}^n{n}_i\partial {\gamma }_i$. A $\partial$ leképezés magja

$Z_1(X):=\mathrm{Kern}(\partial )$

éppen a ciklusok csoportja.

Körülfordulási szám

A lánc nyoma az egyes görbék képeinek uniója. Azaz,

$\mathrm{Spur}\mathrm{\Gamma }:=\bigcup _{i=1}^N\mathrm{im}{\gamma }_i$.

Ha $D\subseteq \mathbb{ℂ}$, akkor $\mathrm{\Gamma }$ ciklus $D$-ben pontosan akkor, ha $\mathrm{Spur}\mathrm{\Gamma }\subseteq D$. A körülfordulási számot a zárt görbéhez hasonlóan definiáljuk, de a nyomot használjuk, azaz

${\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(z):=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\frac{\mathrm{d}\zeta }{\zeta -z}\in \mathbb{\mathbb{Z}}$.

A ciklus belseje azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a körülfordulási szám nem nulla:

$\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }:=\{z\in \mathbb{ℂ}\setminus \mathrm{Spur}\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(z)\ne 0\}$

Külseje pedig azokat a pontokat tartalmazza, ahol a körülfordulási szám eltűnik:

$\mathrm{Ext}\mathrm{\Gamma }:=\{z\in \mathbb{ℂ}\setminus \mathrm{Spur}\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{ind}}_{\mathrm{\Gamma }}(z)=0\}$

Egy ciklus nullhomológ $D\subseteq \mathbb{ℂ}$-ben, ha belseje része $D$-nek: $\mathrm{Int}\mathrm{\Gamma }\subseteq D$ Ez pontosan akkor teljesül, ha az összes $\mathbb{ℂ}\setminus D$ pont körülfordulási száma nulla. Két ciklus, ${\mathrm{\Gamma }}_1$, ${\mathrm{\Gamma }}_2$ homológ $D\subseteq \mathbb{ℂ}$-ben, ha formális különbségük, ${\mathrm{\Gamma }}_1-{\mathrm{\Gamma }}_2$ nullhomológ $D$-ben.

Integráltételek

A láncok és ciklusok jelentőségét a komplex analízisben a görbe menti integrál általánosítása adja. A ciklusokra is bizonyítható a reziduumtétel, a Cauchy-féle integráltétel és a Cauchy-integrálképlet. A Stokes-tétel is igazolható. Legyen $\mathrm{\Gamma }$ lánc $X$-ben, legyen $\mathrm{\Gamma }$ minden ${\gamma }_i$ görbéje sima, továbbá legyen $f:X\to \mathbb{ℝ}$ is sima. Ekkor a Stokes-tétel szerint

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\mathrm{d}f(z)\mathrm{d}z=\underset{\partial \mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)\mathrm{d}z$,

ahol $\partial$ az egy-ciklus szeletének lezárásoperátora, és $\mathrm{d}$ a derivált. A második integrál írható

$\underset{\partial \mathrm{\Gamma }}{\int }f(z)\mathrm{d}z=\sum _{i=1}^n{n}_{i}f(z){|}_{{\gamma }_i(0)}^{z={\gamma }_i(1)}=\sum _{i=1}^n{n}_i(f({\gamma }_i(1))-f({\gamma }_i(0))$

alakban is. Ha $\mathrm{\Gamma }$ sima görbékből álló ciklus, akkor a tétel egyszerűsíthető:

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }\mathrm{d}f(z)\mathrm{d}z=0$,

mivel ekkor az ${\sum }_{i=1}^n{n}_i(f({\gamma }_i(1))-f({\gamma }_i(0))$ összeg lenullázódik.

A homológiaelméletben

A lánc és a ciklus topológiai objektum is. Az algebrai topológiában p-láncok komplexusait vizsgálják, és ezekből homológiacsoportokat képeznek. Ezek topológiai invariánsok. Különösen fontos a szinguláris homológiacsoportok homológiaelmélete. A homológiaelméletben a cikkben definiált lánc a szinguláris komplexus 1-lánca, ami egy bizonyos lánckomplexus. A ciklus szakaszban definiált $\partial :C_1(X)\to \mathrm{Div}(X)$ operátor a szinguláris komplexus peremoperátora, és a divizorok csoportja emiatt a nulla-láncok csoportjával izomorf. A ciklusok csoportja, mint az $\partial$ peremoperátor magja 1-ciklus a lánckomplexus értelmében. A peremoperátor magva mellett tekinthetjük az operátor képét is, és ebből a két halmazból homológiacsoport konstruálható. Szinguláris komplexus esetén szinguláris homológiát kapunk. Ebben a kontextusban a nullhomológ lánc és a homológ lánc is absztraktabbá válik.

Források

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb. Funktionentheorie, 8., Braunschweig: Vieweg (2003). ISBN 3-528-77247-6 
• Otto Forster: Riemannsche Flächen, Springer 1977, englisch Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1991, ISBN 3-540-90617-7, Kapitel 20

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Zyklus (Funktionentheorie) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.