Általános Dirichlet-sor

Az általános Dirichlet-sor a matematikai analízisben egy

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s},$

alakú sor, ahol $a_n$ és $s$ komplex számok, és $\{{\lambda }_n\}$ pozitív számok szigorúan monoton növő sorozata, ami a végtelenbe tart. Egy egyszerű megfigyelés szerint a közönséges Dirichlet-sor is általános Dirichlet-sor:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s},$

ahol ${\lambda }_n=\log n$. A hatványsorok is speciális általános Dirichlet-sorok:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(e^{-s}{)}^n,$

ahol ${\lambda }_n=n$.

Tulajdonságok

Ha a Dirichlet-sor konvergens $s_0={\sigma }_0+t_{0}i$-ban, akkor egyenletesen konvergens az

$|\text{arg}(s-s_0)|\le \theta <\frac{\pi }{2},$

tartományban, és konvergens minden $s=\sigma +ti$-ben, ahol $\sigma >{\sigma }_0$. Ha a sor nem mindenütt, csak a komplex sík egy részén konvergens, akkor létezik egy ${\sigma }_c$, hogy a sor $\sigma >{\sigma }_c$-ben konvergens, és $\sigma <{\sigma }_c$-ben divergens. A mindenütt divergens sorokra ${\sigma }_c=\mathrm{\infty }$, és a mindenütt konvergens sorokra ${\sigma }_c=-\mathrm{\infty }$. Ez a konvergencia abszcisszája.

A konvergencia abszcisszája

A konvergencia abszcisszájának alternatív definíciója:

${\sigma }_c=\inf \{\sigma \in \mathbb{ℝ}:\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}\text{ konvergens minden }s\text{ -re, amire Re}(s)>\sigma \}$.

A $\sigma ={\sigma }_c$ egyenest a konvergencia egyenesének nevezik, a konvergencia félsíkja pedig

${\mathbb{ℂ}}_{{\sigma }_c}=\{s\in \mathbb{ℂ}:\text{Re}(s)>{\sigma }_c\}.$

A Dirichlet-sorok konvergenciájában a konvergencia abszcisszája, egyenese és félsíkja rendre a hatványsorok konvergenciasugarának, határának és tartományának felel meg. A hatványsorok határához hasonlóan a Dirichlet-sorok konvergenciaegyenesén is nyitott kérdés a konvergencia. Azonban, ha egy függőleges egyenes egyes pontjain a sor konvergál, és más pontjain divergál, akkor az az egyenes csak a konvergenciaegyenes lehet. A bizonyítás implicit adott a konvergencia abszcisszájának a definíciójában. Például, a

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{e}^{-ns},$

sor konvergens $s=-\pi i$-ben, mert az alternáló harmonikus sort adja, és divergál $s=0$-ban, mert a harmonikus sort adja, így $\sigma =0$ a konvergencia egyenese. Tegyük fel, hogy egy Dirichlet-sor nem konvergál $s=0$-ban. Ekkor definíció szerint ${\sigma }_c\ge 0$, és $\sum a_n$ divergál. Másrészt, ha konvergál $s=0$-ban, akkor ${\sigma }_c\le 0$ és $\sum a_n$. Ezzel két képlet adódik ${\sigma }_c$ számítására $\sum a_n$ konvergenciájától függően, amit különböző konvergenciakritériumok segítenek belátni. Ezek a Cauchy-Hadamard-tétel képleteihez hasonlóak: Ha $\sum a_k$ divergens, vagyis ${\sigma }_c\ge 0$, akkor ${\sigma }_c$-re:

${\sigma }_c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log |a_1+a_2+\cdots +a_n|}{{\lambda }_n}.$

Ha $\sum a_k$ konvergens, vagyis ${\sigma }_c\le 0$, akkor ${\sigma }_c$-re:

${\sigma }_c=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots |}{{\lambda }_n}.$

Az abszolút konvergencia abszcisszája

Az abszolút konvergencia definíciója szerint egy $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s},$ Dirichlet-sor abszolút konvergens, ha

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}|,$

konvergens. Az abszolút konvergenciából következik a konvergencia, de ez fordítva már nem igaz. Ha egy Dirichlet-sor abszolút konvergens $s_0$-ban, akkor abszolút konvergens minden s -re, amire $\text{Re}(s)>\text{Re}(s_0)$. Ha a sor csak a komplex számsík egy részén abszolút konvergens, akkor van olyan ${\sigma }_a$, hogy a sor abszolút konvergens minden $\sigma >{\sigma }_a$-ra, és a sor vagy nem konvergál, vagy feltételesen konvergál, ha $\sigma <{\sigma }_a$. Ez a ${\sigma }_a$ az abszolút konvergencia abszcisszája. Ekvivalensen, az abszolút konvergencia abszcisszája definiálható, mint:

${\sigma }_a=\inf \{\sigma \in \mathbb{ℝ}:\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s}\text{abszolút konvergens minden }s\text{-re, amire Re}(s)>\sigma \}$.

Az abszolút konvergencia egyenese, illetve félsíkja a közönséges konvergenciához hasonlóan definiálható. A sor konvergenciájától függően ${\sigma }_a$ kétféleképpen számolható: Ha $\sum |a_k|$ divergens, akkor ${\sigma }_a$-ra:

${\sigma }_a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log (|a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|)}{{\lambda }_n}.$

Ha $\sum |a_k|$ konvergens, akkor ${\sigma }_a$-ra:

${\sigma }_a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log (|a_{n+1}|+|a_{n+2}|+\cdots )}{{\lambda }_n}.$

Általában az abszolút konvergencia abszcisszája nem egyezik meg a konvergencia abszcisszájával, ezért van egy sáv, amiben a sor feltételesen konvergens. A sáv szélessége:

$0\le {\sigma }_a-{\sigma }_c\le L:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log n}{{\lambda }_n}.$

Ha a sáv szélessége 0, akkor

${\sigma }_c={\sigma }_a=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\log |a_n|}{{\lambda }_n}.$

Mindezek a képletek használhatók a közönséges Dirichlet-sorra is, a ${\lambda }_n=\log n$ helyettesítéssel.

Analitikus tulajdonság

Egy Dirichlet-sor által reprezentált függvény

$f(s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{e}^{-{\lambda }_{n}s},$

analitikus a konvergencia félsíkján. Sőt, minden $k=1,2,3,...$-ra:

$f^{(k)}(s)=(-1{)}^k\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\lambda }_n^k{e}^{-{\lambda }_{n}s}.$

További általánosítások

A Dirichlet-sor tovább általánosítható többváltozós esetre, ahol ${\lambda }_n\in {\mathbb{ℝ}}^k$, k = 2, 3, 4,..., és komplex esetre, ahol ${\lambda }_n\in {\mathbb{ℂ}}^m$, m = 1, 2, 3,...

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a General Dirichlet series című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• G. H. Hardy, and M. Riesz, The general theory of Dirichlet's series, Cambridge University Press, first edition, 1915
• E. C. Titchmarsh, The theory of functions, Oxford University Press, second edition, 1939
• Tom Apostol, Modular functions and Dirichlet series in number theory, Springer, second edition, 1990
• A.F. Leont'ev, Entire functions and series of exponentials (in Russian), Nauka, first edition, 1982
• A.I. Markushevich, Theory of functions of a complex variables (translated from Russian), Chelsea Publishing Company, second edition, 1977
• J.-P. Serre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, fifth edition, 1973