Affin koordináták

Affin koordináták véges dimenziós euklideszi térben

Az affin koordináta fogalma az affin geometria tárgykörébe tartozik, de értelmezhető euklideszi terekben is. A hagyományos $\mathbb{𝔼}$ euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy O pontot, az origót, és tetszőleges $P\in E$ pontot azonosítjuk a $\underset{\_}{p}=\overrightarrow{OP}$ helyvektorral. Definíció: Legyenek adottak a ${\left(B_i\right)}_{i\in (1,2,\cdots ,n)}=(B_1,B_2,\cdots ,B_n)\in E^n$ pontok – a B elnevezés arra utal, hogy ezek a bázispontok. Ha vannak olyan ${\left({\alpha }_i\right)}_{i\in (1,2,\cdots ,n)}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$ valós számok – skalárok vagy együtthatók – melyekre teljesül valamely $P\in E$ pont esetén, hogy P a bázispontok fenti együtthatókkal vett affin kombinációja legyen, azaz

$\overrightarrow{OP}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\overrightarrow{O{B}_i}={\alpha }_1\overrightarrow{O{B}_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{O{B}_2}+\cdots +{\alpha }_n\overrightarrow{O{B}_n}$,

rövidebben írva (ha az O pont rögzítve van, egyértelmű, nem változik)

$\underset{\_}{p}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\underset{\_}{b_i}={\alpha }_1\underset{\_}{b_1}+{\alpha }_2\underset{\_}{b_2}+\cdots +{\alpha }_n\underset{\_}{b_n}$,

akkor az ${\left({\alpha }_i\right)}_{i\in \{1,2,\cdots ,n\}}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ együtthatókat (ti. ezek fenti rendezett n-esét) a P pontok affin koordinátáinak nevezzük a $(B_1,B_2,\cdots ,B_n)$ bázispontokra nézve.


Megjegyzés I. : Az előbbi definícióban a B_{i} pontok köré írt zárójel nem hagyható el és nem cserélhető kapcsos zárójelre, mivel a bázispontok itt nem halmazt, hanem rendezett n-est kell hogy alkossanak, az affin koordináták ebben az értelemben függnek a bázispontok sorrendjétől;
Megjegyzés II. : Nem nehéz belátni, hogy tetszőleges véges dimenziós euklideszi térben viszont az affin koordináták függetlenek a kezdőpont megválasztásától;
Megjegyzés III. : Az affin kombináció szócikkben részletesen is foglalkoztunk azzal, hogy n dimenziós euklideszi térben pontosan n+1 független bázispont kell ahhoz, hogy minden pont előállítható legyen ezek egy affin kombinációjaként, azaz ennyi független bázispont teljesen „bekoordinátázza” a teret, mégpedig úgy, hogy a kérdéses koordináták egyértelműek.

Lásd még

• Affin geometria
• Affin kombináció
• Affin transzformáció