Affin kombináció

Az affin kombináció és a rá épülő affin koordináták fogalma a matematikában elsősorban az euklideszi geometria egyik ága, az affin geometria algebrai leírására szolgálnak, noha maga a fogalom a lineáris algebra részeként is tárgyalható (újabban meg is teszik). Az affin geometriának két alapvető ágát vagy paradigmáját különböztethetjük meg.

• A (kontinuum)-geometriai vonal: tárgyalható a hagyományos euklideszi geometria részeként, ekkor úgy jelenik meg, mint az egyenestartó transzformációk elmélete – e leképezések minden egyenest egy neki megfelelő egyenesbe képeznek.
• A diszkrét matematikai-kombinatorikai vonal: a véges (véges sok pontot tartalmazó) affin geometria és általában a véges geometria pedig a kombinatorika egyik ága.

Ilyen egyenestartó transzformációk például a képszerkesztő programokból talán jól ismert, valamely – függőleges, vízszintes – irányba történő nyújtások. Az efféle affin transzformációk vektoralgebrai eszközökkel is leírhatóak, s eme leírásnak épp az affin kombinációk és az affin koordináták szolgálnak alapként. Néhány vektor affin kombinációja pedig e vektorok súlyozott összege (azaz lineáris kombinációja), ahol a súlyok (együtthatók) összege 1; a matematikailag pontosabb leírás lentebb olvasható.

Az affin kombináció általános definíciója vektorterekben

Megjegyzés: használni fogjuk többtagú összeg jelölésére a $\sum _{i=1}^u{t}_i:=t_1+t_2+\cdots +t_u$ (ahol u∈ℕ) ún. szummajelet, bár a lentiek ennek ismeretétől függetlenül is érthetőek. A szummajel használatáról ld. az összeg címszavunkat. Legyen adott egy T test feletti $L=(T,V,+)$ ($1\in T$ egységelemmel rendelkező) vektortér (lineáris tér). Ekkor adott

• $({\alpha }_i{)}_{i\in (1,2,\cdots n)}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\in T^n$ skalárrendszer és
• $(a_i{)}_{i\in (1,2,\cdots n)}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)\in V^n$ vektorrendszer esetén, (ahol $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$), a

$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot a_i={\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2+\cdots +{\alpha }_n{a}_n$ lineáris kombinációt az adott $a_i$ vektorok ${\alpha }_i$ skalárokkal (az együtthatókkal) vett affin kombinációjának nevezik, amennyiben $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1$ is teljesül. A fogalomnak jobbára a hagyományos euklideszi geometriában van jelentősége.

Affin kombináció az euklideszi geometriában

A hagyományos $\mathbb{𝔼}$ euklideszi tér is könnyedén vektortér struktúrájúvá tehető, ha rögzítünk egy $O\in \mathbb{𝔼}$ pontot, az origót, és tetszőleges $P\in \mathbb{𝔼}$ pontot azonosítjuk a $\underset{\_}{p}=\overrightarrow{OP}$ helyvektorral. A fenti definíció ekkor ilyen alakot ölt: Definíció: Legyenek adottak a $(P_i{)}_{i\in (1,2,\cdots n)}=(P_1,P_2,\cdots ,P_n)\in E^n$ pontok. E pontok $\sum _{i=1}^n{\alpha }_i=1$ tulajdonságot kielégítő, $({\alpha }_i{)}_{i\in (1,2,\cdots n)}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$, skalárokkal képezett affin kombinációja az a $Q\in \mathbb{𝔼}$ pont, amelynek $\underset{\_}{q}$ helyvektorára teljesül:

$\underset{\_}{q}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot {\underset{\_}{p}}_i={\alpha }_1{\underset{\_}{p}}_1+{\alpha }_2{\underset{\_}{p}}_2+\cdots +{\alpha }_n{\underset{\_}{p}}_n$

Azaz melyre

$\overrightarrow{OQ}=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot {\overrightarrow{OP}}_i={\alpha }_1{\overrightarrow{OP}}_1+{\alpha }_2{\overrightarrow{OP}}_2+\cdots +{\alpha }_n{\overrightarrow{OP}}_n$

teljesül. Ezt röviden, az O kezdőpont elhagyásával (amire a II. Megjegyzés jogosít fel) így is szokás írni (a:

$Q=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\cdot P_i={\alpha }_1{P}_1+{\alpha }_2{P}_2+\cdots +{\alpha }_n{P}_n$

Megjegyzés I.: A fenti definíció tetszőleges véges dimenziós $\mathbb{𝔼}$ euklideszi térre is érvényes. Megjegyzés II.: Nem nehéz belátni, hogy egy pontrendszer affin kombinációja független a koordináta-rendszertől, azaz az O kezdőpont megválasztásától! Adott pontrendszer adott számokkal való affin kombinációja mint helyvektor nem ugyanonnan bár, de mindig ugyanabba a pontba mutat, akárhogy változtatjuk is az O pontot. Ez azért lehetséges, mivel megköveteltük, hogy az együtthatók összege 1 legyen. Az 1-en kívül nincs olyan valós szám, ami ugyanennek az állításnak eleget tenne. Belátható, hogy:

• Két (különböző) pont összes affin kombinációinak halmaza a két pontot összekötő egyenes (ld. Kiegészítés);
• Három nem egy egyenesbe eső pont összes affin kombinációja pedig a három pontra fektethető sík;
• Négy nem egy síkban fekvő pont összes affin kombinációja pedig a teljes tér;
  • Ráadásul a tér minden pontja egyértelműen áll elő a négy pont egy-egy affin kombinációjaként;
• …
• Általában pedig az n dimenziós euklideszi tér minden pontja egyértelműen áll elő n+1 darab „független”, de egyébként tetszőleges pont affin kombinációjaként (függetlenek a pontok, ha semelyik kettő nem esik egybe, semelyik három nem esik egy egyenesre, semelyik négy egy síkba, …, és általában semelyik i + 1 darab nem esik egyszerre egy i térdimenziós altérbe). Lentebb közöljük a bizonyítását ennek.

Ez utóbbi az alapja a térbeli affin koordináták bevezetésének. Az affin kombináció speciálisabb és jóval érdekesebb esetei a konvex kombinációk, illetve a súlyozott pontrendszerek súlypontjai (Például konvex kombinációkról akkor beszélünk, ha az együtthatók mind nemnegatívak).

Kiegészítés

Két pont affin kombinációi

Tekintsük az $\mathbb{𝕊}$ síkban az $\underset{\_}{a},\underset{\_}{b}$ helyvektorokkal adott különböző $A,B\in \mathbb{𝕊}$ pontokat, ekkor, minthogy érvényes $\underset{\_}{a}+\overrightarrow{AB}=\underset{\_}{b}$, írható $\overrightarrow{AB}=\underset{\_}{b}-\underset{\_}{a}$. Mármost a vektor számmal való szorzásának definíciója szerint, ha <A,B> jelöli az A,B pontokon átmenő egyenest, akkor $P\in <A,B>\iff \overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}$ valamilyen $\lambda \in \mathbb{ℝ}$ valós számmal, azaz

$\overrightarrow{AP}=\lambda (\underset{\_}{b}-\underset{\_}{a})$.

Így adható meg az összes, <A,B> egyenesen fekvő P pont helyzete az A-hoz viszonyítva, hogy alkalmazkodjunk az érvényes koordináta-rendszerhez és megkapjuk a P pontok helyvektorait, azt kell megnéznünk, hogyan juthatunk az origóból P-be, nos úgy, hogy először elmegyünk az A pontba (a $\underset{\_}{a}$ vektorral elmozdulva), és aztán az A-ból a P-be (hozzáadjuk az eddigi elmozduláshoz még a $\overrightarrow{AP}$ vektort). Összesen tehát

$\underset{\_}{p}=\underset{\_}{a}+\overrightarrow{AP}=\underset{\_}{a}+\lambda (\underset{\_}{b}-\underset{\_}{a})=\underset{\_}{a}+\lambda \underset{\_}{b}-\lambda \underset{\_}{a}=(1-\lambda )\underset{\_}{a}+\lambda \underset{\_}{b}$.

Ezzel beláttuk a következőt: egy P pont akkor és csak akkor van rajta az <A,B> egyenesen, ha felírható az A,B pontok helyvektorainak olyan lineáris kombinációjaként, melyben az együtthatók összege 1 ($(1-\lambda )+\lambda =1$), tehát ha felírható az egyenes e két pontjának affin kombinációjaként.

Véges dimenziós euklideszi tér pontjainak affin előállítása

Valójában hasonló gondolatmenettel lehet belátni az analóg állítást tetszőleges $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ véges n dimenziós ${\mathbb{𝔼}}^n$ euklideszi térre. Legyenek adva az $A_1,A_2,\cdots ,A_{n+1}$ pontok, melyekhez valamelyiket kezdőpontul választva – legyen $A_k$, ahol $k\in \mathbb{\mathbb{N}}$ és $1\le k\le n+1$ - az ${\underset{\_}{a}}_1=\overrightarrow{A_k{A}_1},{\underset{\_}{a}}_2=\overrightarrow{A_k{A}_2},\cdots ,{\underset{\_}{a}}_n=\overrightarrow{A_k{A}_n},{\underset{\_}{a}}_{n+1}=\overrightarrow{A_k{A}_{n+1}}$ helyvektorok tartoznak. Ez n+1 darab vektor lesz, de mivel az egyik épp a $\underset{\_}{0}={\underset{\_}{a}}_k=\overrightarrow{A_k{A}_k}$ nullvektor, valójában olyan, mintha csak n vektorunk volna (ez csak egy bizonyítástechnikai probléma, a következők érvényességét nem befolyásolja). Tegyük fel, hogy e pontok – értsd: a megfelelő vektorok, az előbb említett nullvektort beleértve – lineárisan függetlenek, azaz az általuk meghatározott (generált) altér pontosan n dimenziós, vagyis épp ${\mathbb{𝔼}}^n$ (ugyanis n dimenziós térnek nincs valódi n dimenziós altere, csak önmaga). Tehát minden $P\in {\mathbb{𝔼}}^n$ pont előáll az adott vektorok lineáris kombinációjaként, mégpedig egyértelműen (s ezen az sem változtat, ha egy ${\underset{\_}{a}}_k=\underset{\_}{0}$nullvektort is hozzáírunk a lenti összeghez, ${\alpha }_k=0$ nulla együtthatóval, hogy az együtthatók összege se változzon):

$\overrightarrow{A_{k}P}=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i\overrightarrow{A_k{A}_i}={\alpha }_1\overrightarrow{A_k{A}_1}+{\alpha }_2\overrightarrow{A_k{A}_2}+\cdots +{\alpha }_n\overrightarrow{A_k{A}_n}+{\alpha }_{n+1}\overrightarrow{A_k{A}_{n+1}}$

Azaz

$\underset{\_}{p}-{\underset{\_}{a}}_k={\alpha }_1({\underset{\_}{a}}_1-{\underset{\_}{a}}_k)+{\alpha }_2({\underset{\_}{a}}_2-{\underset{\_}{a}}_k)+\cdots +{\alpha }_n({\underset{\_}{a}}_n-{\underset{\_}{a}}_k)+{\alpha }_{n+1}({\underset{\_}{a}}_{n+1}-{\underset{\_}{a}}_k)=$

$=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i{\underset{\_}{a}}_i-\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i{\underset{\_}{a}}_k=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i{\underset{\_}{a}}_i-{\underset{\_}{a}}_k\cdot \sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i$

Innen, hozzáadva ehhez az egyenlőséghez ${\underset{\_}{a}}_k$-t,

$\underset{\_}{p}=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i{\underset{\_}{a}}_i-{\underset{\_}{a}}_k\cdot \sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i+{\underset{\_}{a}}_k=\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i{\underset{\_}{a}}_i+(1-\sum _{i=1}^{n+1}{\alpha }_i){\underset{\_}{a}}_k$.

Ez utóbbi pedig az n dimenziós tér tetszőleges P pontjának előállítása az ${\underset{\_}{a}}_i$ vektorok affin kombinációjaként, minthogy az együtthatók összege épp 1 (látható, még az a biztonsági követelmény is fölösleges volt, hogy ${\alpha }_k=0$ legyen).

Lásd még

• Affin geometria
• Affin transzformáció
• Affin koordináták