Arctg2

Az arctg2 függvény az arkusztangens (arctg) egyfajta általánosítása: alkalmas arra, hogy egy síkvektor y és x koordinátáiból – ügyelve a szokásoshoz képest fordított sorrendre – kiszámítsuk a vektor irányszögét (azaz az X-tengellyel bezárt szögét), nulla és 2π (vagy -π és π) között. Angol rövidítése: arctan2 vagy atan2.

Definíció

Az arctg2 függvény minden valós (y,x) értékpárra értelmezve van, kivéve a (0,0)-t, mivel a nullvektor irányszöge definiálatlan. A gépi megvalósítások általában nullát adnak vissza ebben az esetben. Az alábbi definíció a (-π,π] tartományra képező változatot adja meg, egy gépi megvalósításra is alkalmas formában (azaz ügyelve arra, hogy az arkusztangenst az x/y és y/x számok közül a kisebb értékre (abszolút értékben) számítsuk ki).

$\mathrm{arctg2}(y,x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{arctg}(y/x),& \text{ha }x\ge |y|\\ \pi /2-\mathrm{arctg}(x/y),& \text{ha }y\ge |x|\\ \pi +\mathrm{arctg}(y/x),& \text{ha }x\le -y\le 0\\ -\pi +\mathrm{arctg}(y/x),& \text{ha }x\le y<0\\ -\pi /2-\mathrm{arctg}(x/y),& \text{ha }y\le -|x|\\ \end{array}$

Ebből a változatból könnyen megkaphatjuk a [0,2π) tartományra képező változatot, ha a negatív értékekhez hozzáadunk 2π-t:

${\mathrm{arctg2}}^{+}(y,x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{arctg}(y/x),& \text{ha }x\ge y\ge 0\\ \pi /2-\mathrm{arctg}(x/y),& \text{ha }y\ge |x|\\ \pi +\mathrm{arctg}(y/x),& \text{ha }x\le -|y|\\ 3\pi /2-\mathrm{arctg}(x/y),& \text{ha }y\le -|x|\\ 2\pi +\mathrm{arctg}(y/x),& \text{ha }x\ge -y>0\\ \end{array}$

Azonosságok

$\sin (\mathrm{arctg2}(y,x))=y/\sqrt{x^2+y^2}$

$\cos (\mathrm{arctg2}(y,x))=x/\sqrt{x^2+y^2}$

$\mathrm{arctg2}(ky,kx)=\mathrm{arctg2}(y,x);\text{ha }k>0$

$\mathrm{arctg2}(ky,kx)=\pi +\mathrm{arctg2}(y,x);\text{ha }k<0$

$\mathrm{arctg2}(-y,x)=-\mathrm{arctg2}(y,x)$

$\mathrm{arctg2}(y,-x)=\pi -\mathrm{arctg2}(y,x)$

$\mathrm{arctg2}(-y,-x)=-\pi +\mathrm{arctg2}(y,x)$

$\mathrm{arctg2}(x,y)=\pi /2-\mathrm{arctg2}(y,x)$

(A fenti azonosságok a szögfüggvények periodikus volta miatt „2π erejéig” érvényesek.)

$\mathrm{arctg2}(y,x)=2\mathrm{arctg}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}+x}$

(Kizárva az $y=0$, $x\le 0$ esetet.)

$\mathrm{arctg2}(y,x)=2\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{y}.$

(Kizárva az $y=0$ esetet.)

Deriváltja

${\partial }_y\mathrm{arctg2}(y,x)=x/(x^2+y^2)$

${\partial }_x\mathrm{arctg2}(y,x)=-y/(x^2+y^2)$

$$\begin{gathered} {\partial }_y(y\mathrm{arctg2}(y,x)-1/2 \\ x \\ \ln (x^2+y^2))=\mathrm{arctg2}(y,x) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\partial }_x(x\mathrm{arctg2}(y,x)+1/2 \\ y \\ \ln (x^2+y^2))=\mathrm{arctg2}(y,x) \end{gathered}$$

Megjegyzések

Érdekes lehet összehasonlítani az arctg2 fenti képletét azzal, amivel az arcsin és arccos függvényeket számíthatjuk ki az arctg felhasználásával:

$\arcsin (x)=\mathrm{arctg2}(x,\sqrt{1-x^2})=\{\begin{array}{ll}-\pi /2-\mathrm{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x),& \text{ha }x<-\sqrt{1/2}\\ \mathrm{arctg}(x/\sqrt{1-x^2}),& \text{ha }|x|\le \sqrt{1/2}\\ \pi /2-\mathrm{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x),& \text{ha }x>\sqrt{1/2}\\ \end{array}$

(Az értékkészlet [-π/2,π/2])

$\arccos (x)=\mathrm{arctg2}(\sqrt{1-x^2},x)=\{\begin{array}{ll}\pi +\mathrm{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x),& \text{ha }x<-\sqrt{1/2}\\ \pi /2-\mathrm{arctg}(x/\sqrt{1-x^2}),& \text{ha }|x|\le \sqrt{1/2}\\ \mathrm{arctg}(\sqrt{1-x^2}/x),& \text{ha }x>\sqrt{1/2}\\ \end{array}$

(Az értékkészlet [0,π]) Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

$\arg (a+bi)=\mathrm{arctg2}(b,a)$

Ennek alapján komplex számok logaritmusát így írhatjuk fel (k és l tetszőleges egész):

$\ln (a+bi)=\ln (\sqrt{a^2+b^2})+(\mathrm{arctg2}(b,a)+2k\pi )i$

${\log }_{c+di}(a+bi)=\frac{\ln (\sqrt{a^2+b^2})+(\mathrm{arctg2}(b,a)+2k\pi )i}{\ln (\sqrt{c^2+d^2})+(\mathrm{arctg2}(d,c)+2l\pi )i}$

Az arctg2 függvény háromdimenziós megfelelője az a (kétértékű, háromváltozós) függvény, amely egy (x,y,z) koordinátákkal definiált térvektorhoz adja meg a ϕ és θ szögeket:

$\varphi =\mathrm{arctg2}(y,x)$

$\theta =\mathrm{arctg2}(z,\sqrt{x^2+y^2})$