Callan–Symanzik-egyenlet

A fizikában a Callan–Symanzik-egyenlet egy differenciálegyenlet, amely leírja az n-pont korrelációs függvények változását azon energiaskála függvényében, amelyen az elmélet definiálva van. Az egyenlet tartalmazza az adott elmélet egyes relativisztikus kvantummezőire vonatkozó β-függvényét és az anomális dimenziókat. Az egyenletet Curtis Gove Callan amerikai és Kurt Symanzik német fizikusról nevezték el.

Matematikai levezetés

Legyen adott egy renormalizált kvantumtérelmélet, ekkor a renormalizációs feltételek meghatározzák az elmélet n-pont korrelációs függvényeit tetszőleges bemeneti skálán. A renormalizáció során bevezetünk egy tetszőleges skálát (μ), amely lehetővé teszi, hogy a korrelációs függvények (a térelmélet különböző pontjai közötti kapcsolatokat leíró mennyiségek) értékeit meghatározzuk különböző energiaszinteken vagy hosszúságskálákon. Az n-pont korrelációs függvények meghatározhatók a partíciós függvény és a forrásmező segítségével:

$G^{(n)}(x_1,\dots ,x_n)=(-i{)}^n\frac{1}{Z[J]}{\frac{{\delta }^{n}Z[J]}{\delta J(x_1)\dots \delta J(x_n)}|}_{J=0}=⟨{𝒯}\{\varphi (x_1)\varphi (x_2)\cdots \varphi (x_n)\}⟩$

A renormalizációból adódóan meghatározható a renormalizált és a csupasz (nem-renormalizált) kvantummezők közötti összefüggés a következő módon:

$⟨{𝒯}\{\varphi (x_1)\varphi (x_2)\cdots \varphi (x_n)\}⟩=Z^{n/2}⟨{𝒯}\{{\varphi }_0(x_1){\varphi }_0(x_2)\cdots {\varphi }_0(x_n)\}⟩$,

vagy máshogy megfogalmazva

$Z^{n/2}{G}_R^{(n)}(x_1,x_2,\cdots ,x_n,\lambda ,\mu )=G_0^{(n)}(x_1,x_2,\cdots ,x_n,{\lambda }_0,\mathrm{\Lambda }).$

Az egyenletben a nem-renormalizált n-pont korrelációs függvények az eredeti (csupasz), nem-renormalizált paraméterektől (${\mathrm{\Phi }}_0,{\lambda }_0,\dots$) és a levágási skálától ($\mathrm{\Lambda }$) függenek. Másrészt a renormalizált korrelációs függvények a renormalizált paraméterektől ($\mathrm{\Phi },\lambda ,\mu ,\dots$) és a renormalizációs skálától (µ) függenek. Vizsgáljuk meg, hogy a renormálási skála infinitezimális megváltozására $\mu \to \mu +\delta \mu$, hogyan változik a fentebbi egyenlet jobb- és bal oldala. Mivel a jobb oldalon szereplő nem-renormalizált n-pont korrelációs függvény nem függ a renormálási skálától, ezért igaz a következő összefüggés:

$\frac{d{G}_0^{(n)}}{d\mu }=0.$

Viszont a renormalizált paraméterek függnek a renormálási skálától, ezért igaz lesz, hogy $\lambda \to \lambda +\delta \lambda$, illetve $\mathrm{\Phi }\to (1+\delta \eta )\mathrm{\Phi }$, ahol $\delta \eta =\delta \mathrm{\Phi }/\mathrm{\Phi }$. Ez alapján a fentebbi egyenlet baloldala a következő módon fog kinézni:

$\frac{d}{d\mu }{Z}^{n/2}{G}^{(n)}=\frac{\partial G^{(n)}}{\partial \mu }+\frac{\partial G^{(n)}}{\partial \lambda }\frac{\partial \lambda }{\partial \mu }-n\frac{\partial \eta }{\partial \mu }{G}^{(n)}=0$, ahol $Z^{1/2}=(1+\delta \eta ).$

Átalakítva az előbbi egyenletet a következő alakra hozható:

$(\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\mu \frac{\partial }{\partial \lambda }\frac{\partial \lambda }{\partial \mu }-n\mu \frac{\partial \eta }{\partial \mu })G_R^{(n)}(x_1,x_2,\cdots ,x_n,\lambda ,\mu )=0.$

Az egyenletben szereplő $\mu \frac{\partial \lambda }{\partial \mu }=\beta$ függvényt béta-függvénynek, míg a $\mu \frac{\partial \eta }{\partial \mu }=\gamma$ tagot anomális dimenziónak nevezzük. Bevezetve ezeket a jelöléseket jutunk a Callan–Symanzik-egyenlet általánosan használt alakjához:

$(\mu \frac{\partial }{\partial \mu }+\beta \frac{\partial }{\partial \lambda }-n\gamma )G_R^{(n)}(x_1,x_2,\cdots ,x_n,\lambda ,\mu )=0$

A fentebb definiált $\beta$-függvény azt méri, hogy a csatolás hogyan függ a renormalizációs skálától ($\mu$), míg az anomális dimenzió a mező renormalizációjának µ-függését határozza meg. A renormalizáció ellentagokkal történő kifejezése esetén a korrelációs függvények µ-függése az ellentagok bevezetéséből ered, amelyeket a divergenciák kiküszöbölésére vezetnek be. Így megállapítható a közvetlen kapcsolat az ellentagok és a fentebb definiált tagok között.