Casus irreducibilis

A matematikában (közelebbről az algebrában) casus irreducibilisnek nevezzük azt az esetet, amikor egy olyan valós együtthatós harmadfokú polinom gyökeit kívánjuk kiszámítani, melynek három különböző valós gyöke van. A komplex számok bevezetéséig elfajult esetnek számított az algebrai egyenletek elméletében.

Az irreducibilitás látszata

Egy ilyen harmadfokú polinom a valós számok teste fölött is felbontható elsőfokúak szorzatára, azaz, ha x₁, x₂, x₃ a három gyök és a a harmadfokú tag együtthatója, akkor a polinom

$a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$

alakú lesz. A gyököket a harmadfokú egyenlet megoldóképletével, a Cardano-képlettel kaphatjuk meg. Ám, pont ebben a tipikusnak mondható esetben fordul elő az, hogy a megoldóképletben szereplő négyzetgyök alatt negatív szám áll. Amennyiben ragaszkodunk ahhoz, hogy az általános eljárást kívánjuk folytatni, és a képlet alapján határozzuk meg a gyököket, nincs más út, minthogy a számítást komplex mennyiségekkel végezzük el. Eredményünk szükségképpen az lesz, hogy az összes gyök valós, annak ellenére, hogy ehhez az eredményhez a komplex számokon keresztül jutottunk. A polinom tehát fölbontható (reducibilis), de a fölbontás elvégzéséhez nem elegendőek a valós műveletek.

Példa

Tekintsük a

$p(x)=x^3-x$

polinomot. Nyilvánvaló, hogy p(x)-nek három valós gyöke van, hisz x-et kiemelve:

$p(x)=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$

azaz x₁ = 0, x₂ = 1 és x₃ = -1. A Cardano-képlet levezetésekor végzett eljárás a következő: x-re a Vieta-féle (Vietié-formula) helyettesítést alkalmazzuk:

$x=u+\frac{1}{3u}$

Tehát:

$p(x)={(u+\frac{1}{3u})}^3-(u+\frac{1}{3u})=$

$=u^3+3u^2\frac{1}{3u}+3u{\left(\frac{1}{3u}\right)}^2+{\left(\frac{1}{3u}\right)}^3-u-\frac{1}{3u}=u^3+\frac{1}{27u^3}$

A p(x)=0 átrendezhető egy u³-ben másodfokú egyenletté:

$(u^3{)}^2+\frac{1}{27}=0$

1/27-et az egyenletből kivonva látható, hogy nem kapunk u³-re valós(!) megoldást. Ezen a ponton a XVI. század matematikusai észrevették, hogy (a kor színvonalán nem megmagyarázható módon) eredményre vezet, ha egyfajta szimbolikus köbgyök és négyzetgyökvonással folytatják a metódust:

$(u^3{)}^2=-\frac{1}{27}$

$u^2=-\frac{1}{3}$

$u=\pm \sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}$

Innen x:

$x=u+\frac{1}{3u}=\frac{3u^2+1}{3u}=\frac{3(\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+1}{3\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{-1+1}{3\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{0}{3\sqrt{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}}=0$

ahonnan az x = 0 valós megoldás megkaptuk. Ezután polinomosztással nyerhető a többi gyök is. A megoldásban szereplő

$\sqrt{-1}$

szimbólum az imaginárius egység, mellyel a műveletek elvégzése során lényegében ugyanúgy számolhatunk, mint egy meghatározatlan értékű paraméterrel, melynek különös tulajdonsága, hogy négyzete -1. Kevésbé triviális esetben bizonytalanná tehet bennünket, hogy tudjuk, a harmadfokú egyenletnek mindig van valós gyöke, megtalálása azonban nem valós számokkal történő számítások útján történik. A komplex számok matematikájának szigorú kifejtése után azonban az elmélet konzisztenciájában nem kételkedhetünk (legfeljebb annyira, amennyire a matematika ellentmondásmentességében is).

Források

• Matematikai kisenciklopédia. Budapest: Gondolat. 1968. 74–76. oldal
• Kleine Enzyklopädie: Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 110–112. oldal