Ciolkovszkij-egyenlet

Ciolkovszkij rakéta-egyenletének elemei

A Ciolkovszkij-egyenlet az idealizált rakéta mozgását írja le. Nevét Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij orosz kutatóról kapta, aki munkássága során sokat foglalkozott az űrutazással, és ő alapozta meg tudományosan a többlépcsős rakéták elméletét is. Ciolkovszkij rakéta-egyenlete idealizált gravitáció és légellenállás nélküli (vákuum) esetre:

$v(t)=v_g\cdot \ln \left(\frac{m_0}{m(t)}\right)$

Ahol:

$v$ a rakéta sebessége a t időpillanatban,

$v_g$ a rakétát elhagyó gázsugár sebessége a rakétához képest (jellemző érték kémiai hajtóanyag esetén: 4,5 km/s),

$m_0$ a rakéta induló tömege és

$m$ a rakéta tömege az indulástól számított t idő múlva.

Az egyenlet levezetése

Jelöljük a rakétából kiáramló gázsugár a rakétához képest állandó sebességét v_g-vel, az inerciarendszerhez képesti pillanatnyi sebességét pedig v_gi-vel, az indulástól számított t idő elteltével a rakéta tömegét m-el, t + dt időpillanatban a rakéta tömege pedig legyen m - dm. A rakéta a t-ik időpillanatban mért P₁ impulzusára az alábbi összefüggés írható:

$P_1=m\cdot v$

A t + dt időpontban a P₂ impulzusa pedig így írható:

$P_2=(m-dm)\cdot (v+dv)+dm\cdot v_{gi}$

A két impulzus különbsége, ha a másodrendűen kicsi dm.dv_gi tagot elhanyagoljuk:

$dP=P_2-P_1=m\cdot dv+dm\cdot (v_{gi}-v)$,

azonban, mivel a gázsugár relatív sebessége a rakétához képest

$v_g=v_{gi}-v$,

és mivel a rakétára semmiféle külső erő nem hat, a két impulzus különbsége nulla, ezért írhatjuk:

$m\cdot dv=-dm\cdot v_g$,

A rakéta pillanatnyi m tömegével elosztva mindkét oldalt:

$dv=-\frac{dm}{m}\cdot v_g$,

a rakétamozgás differenciálegyenletéhez jutunk, aminek megoldása egyszerűen integrálással történik:

$\underset{0}{\overset{v}{\int }}\mathrm{d}v+\underset{m_0}{\overset{m}{\int }}{v}_g\cdot \frac{\mathrm{d}m}{m}=0$

és innen a rakéta sebessége:

$v=v_g\cdot \ln \left(\frac{m_0}{m}\right)$

Források

• К. Э. Циолковский, Исследование мировых пространств реактивными приборами, 1903.
• Ciolkovszkij fenti műve PDF formátumban