Derékszögű háromszög

Egy derékszögű háromszög: a c oldal az átfogó, az a és b oldalak pedig a befogók

A síkmértanban a derékszögű háromszög az a háromszög, amelynek az egyik szöge derékszög (mértéke π/2 radián vagy 90°). A derékszöggel szemközti oldalt átfogónak nevezik, és ez a legnagyobb. A másik két oldalt befogónak nevezzük.

Általános adatok

• A két hegyesszög összege 90° – ez a pótszögek tétele is egyben.
• Az átfogóra húzott oldalfelező az átfogót két egyenlő részre osztja.
• Bármely derékszögű háromszög körbeírható, a körülírt kör középpontja az átfogó közepén található.
• Minden derékszögű háromszög ortocentruma a derékszög tetején található.

Magasságtételek

Az első magasságtétel

Jelölések a megfogalmazott tételekhez

Egy derékszögű háromszögben az átfogóra húzott magasság hossza a befogók átfogóra eső vetületeinek mértani közepe.

$CD=\sqrt{AD\cdot BD}$ vagy

$C{D}^2=AD\cdot BD$

ahol a CD az átfogónak megfelelő magasság, az AD és a BD pedig a befogók átfogóra eső vetületei (lásd a szomszédos ábrát).

A második magasságtétel

Az átfogónak megfelelő magasság és az átfogó szorzata egyenlő a befogók szorzatával, azaz ha az ABC egy derékszögű háromszög, C = 90° (lásd a szomszédos ábrát), és a CD merőleges az AB-re, akkor érvényes:

$CD\cdot AB=AC\cdot BC$

A befogótétel

A derékszögű háromszögben minden befogó négyzete egyenlő az átfogó és a befogó átfogóra eső vetületének szorzatával. Legyen ABC egy háromszög, amelynek C szöge = 90°, és CD merőleges az AB-re (lásd a fenti ábrákat). Ekkor felírható, hogy:

$B{C}^2=AB\cdot BD$ vagy

$BC=\sqrt{AB\cdot BD}$

Szögek

A 45°-os szög tétele

Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 45°, ebből következően a másik is 45°, így az átfogóra húzott magasságvonal hossza az átfogó felével egyenlő.

A 30°-os szög tétele

Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 30°, az ezzel a szöggel szemben fekvő befogó hossza megegyezik az átfogó hosszának felével.

A 15°-os szög tétele

Egy derékszögű háromszögben, amelynek egyik hegyesszöge 15°, a 15°-os szöggel szembeni magasság hossza az átfogó hosszának a negyede.

Területszámítási képletek

• Egy derékszögű háromszög területe egyenlő a befogók szorzatának felével.

Pitagorasz tétele a derékszögű háromszögre

Pitagorasz tételének illusztrációja

Pitagorasz tétele: a befogók hosszai négyzeteinek összege megegyezik az átfogó hosszának négyzetével. Ez ábrázolható az ABC derékszögű háromszögben, ahol AB az átfogó, C pedig a derékszög (lásd a fenti ábrák jelöléseit). Pitagorasz tétele kimondja, hogy:

$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2$

Állandó arányok a derékszögű háromszög elemei között

A derékszögű háromszögben a szögek és az oldalak közt állandó arányok állnak fenn, ezek: a szinusz, a koszinusz, a tangens, a kotangens. Amennyiben a szögek változhatnak, ezek független változókként ún. trigonometriai függvényeket hívnak életre.

A szög mértékének szinuszát a szöggel szemben fekvő befogó és az átfogó hányadosa adja meg:

$\sin X=\frac{\text{az X szöggel szemben fekvő befogó}}{\text{átfogó}}$

A szög mértékének koszinusza a szög melletti befogó és az átfogó hosszának hányadosa:

$\cos X=\frac{\text{az X szög melletti befogó}}{\text{átfogó}}$

A szög mértékének tangense a szöggel szemben lévő befogó és a szög melletti befogó hosszainak hányadosa:

$\mathrm{tg}X=\frac{\text{a szöggel szemben fekvő befogó}}{\text{a szög melletti befogó}}$

A szög kotangense a szög melletti befogó és a szöggel szemben fekvő befogó hányadosa:

$\mathrm{ctg}X=\frac{\text{az X szög melletti befogó}}{\text{az X szöggel szemben fekvő befogó}}$

Legyen X egy szög mértéke, és (90° – X) a kiegészítő szögének mértéke. Ezután a következő összefüggések adódnak, az I. negyedben:

$\sin X=\cos (90^{\circ }-X)$

$\cos X=\sin (90^{\circ }-X)$

$\mathrm{tg}X=\mathrm{ctg}(90^{\circ }-X)$

$\mathrm{ctg}X=\mathrm{tg}(90^{\circ }-X)$

Trigonometrikus függvényértékek 0°, 30°, 45°, 60° és 90°-os szögek esetén

	$0^{\circ }(0)$	$30^{\circ }\left(\frac{\pi }{6}\right)$	$45^{\circ }\left(\frac{\pi }{4}\right)$	$60^{\circ }\left(\frac{\pi }{3}\right)$	$90^{\circ }\left(\frac{\pi }{2}\right)$
Szinusz	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
Koszinusz	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
Tangens	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	+ végtelen
Kotangens	+ végtelen	$\sqrt{3}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$0$

Szögek értékei közti összefüggések

$\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$      $\cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg}30^{\circ }=\mathrm{ctg}60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$      $\mathrm{ctg}30^{\circ }=\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$

$\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\mathrm{tg}45^{\circ }=\mathrm{ctg}45^{\circ }=1$

$\sin 0^{\circ }=\cos 90^{\circ }=0$      $\cos 0^{\circ }=\sin 90^{\circ }=1$

$\mathrm{tg}{0}^{\circ }=\mathrm{ctg}90^{\circ }=0$      $\mathrm{ctg}{0}^{\circ }=\mathrm{tg}90^{\circ }=\mathrm{\infty }$

Alapvető trigonometriai képletek

$\mathrm{tg}X=\frac{\sin X}{\cos X}$

$\mathrm{ctg}X=\frac{\cos X}{\sin X}$

$\mathrm{tg}X=\frac{1}{\mathrm{ctg}X}$

$\mathrm{tg}X\cdot \mathrm{ctg}X=1$

A trigonometria alapvető képlete

${\sin }^{2}X+{\cos }^{2}X=1$

Források

• Obádovics József Gyula: Matematika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972
• Nicolae Bourbăcuț. Triunghiul dreptunghic in planul complex. Gazeta Matematică-B,nr.12/2011