Direkt limesz (kategóriaelmélet)

A matematikában a direkt limesz objektumok irányított rendszerének kategóriaelméleti értelemben vett kolimesze. Először adott algebrai struktúrák (pl. csoportok, modulusok) direkt limeszét definiáljuk, majd teljes általánosságban tetszőleges kategóriában is definiáljuk a direkt limesz fogalmát.

Definíciók

Algebrai objektumok

Ebben a szakaszban objektumaink algebrai struktúrával ellátott halmazok – például csoportok, gyűrűk, adott gyűrű fölötti modulusok, adott test fölötti algebrák, stb. Ennek szellemében „homomorfizmus” alatt mindig a megfelelő algebrai struktúrák közti homomorfizmust értjük, azaz például csoportok esetében csoporthomomorfizmust, gyűrűk esetében gyűrűhomomorfizmust s így tovább. Először objektumok és homomorfizmusok direkt rendszerét definiáljuk. Ehhez tekintsünk egy $⟨I,\le ⟩$ irányított halmazt: ez egy $\le$ részbenrendezéssel ellátott $I$ halmaz úgy, hogy $I$ bármely két elemének létezik felső korlátja, azaz

$\mathrm{\forall }i,j\in I:\mathrm{\exists }k\in I:i\le k,j\le k$.

Legyen $\{A_i:i\in I\}$ algebrai objektumok egy családja, ahol $I$ irányított indexhalmaz és minden $i\le j$-re adott egy $f_{ij}:A_i\to A_j$ homomorfizmus az alábbi tulajdonságokkal:

1. $f_{ii}$ az $A_i$ identitása, valamint
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ fennáll minden $i\le j\le k$ esetén.

Ekkor az $⟨A_i,f_{ij}⟩$ párt $I$ fölötti direkt rendszernek nevezzük. Az $⟨A_i,f_{ij}⟩$ direkt rendszer direkt limeszének $A$ alaphalmazát az $A_i$ halmazok diszjunkt uniójának az alábbi $\sim$ ekvivalenciareláció szerinti faktoraként definiáljuk:

$A=\underrightarrow{\lim }{A}_i=\underset{i}{⨆}{A}_i/\sim .$

Itt $x_i\in A_i$ és $x_j\in A_j$ ekvivalensek, jelölésben $x_i\sim x_j$, ha van olyan $k\in I$, melyre $f_{ik}(x_i)=f_{jk}(x_j)$. Heurisztikusan két elem akkor és csak akkor esik egybe a direkt limeszben, ha egy idő után a direkt rendszerben is egybeesnek. Az így definiált $A$ halmazt ugyanazzal a struktúrával látjuk el, amit a direkt rendszer elemei birtokoltak; a vonetkozó algebrai műveleteket értelemszerűen definiáljuk a reprezentánsokon. Például gyűrűk esetén az összeadás $[x_i]+[x_j]:=[f_{ik}(x_i)+f_{jk}(x_j)]$ lesz. Ebből a definícióból azonnal adódik, hogy minden $i\in I$ indexre létezik egy ${\varphi }_i:A_i\to A$ kanonikus morfizmus, ami minden elemhez az $A$-beli ekvivalenciaosztályát rendeli. Fontos megemlíteni, hogy egy gyűrű feletti modulusok kategóriájában a direkt limesz egzakt funktor.

Direkt rendszer direkt limesze tetszőleges kategóriában

A direkt limeszt tetszőleges ${𝒞}$ kategóriában is definiálhatjuk egy megfelelő univerzális tulajdonság segítségével. ${𝒞}$-beli objektumok és morfizmusok direkt rendszere ugyanúgy definiálható, mint fent. Az $⟨X_i,f_{ij}⟩$ direkt rendszer direkt limesze az $⟨X,{\varphi }_i⟩$ pár, ahol $X\in Ob{𝒞}$, a ${\varphi }_i:X_i\to X$ kanonikus morfizmusokkal együtt, melyekre ${\varphi }_i={\varphi }_j\circ f_{ij}$ teljesül minden $i,j\in I$ esetén. Az $⟨X,{\varphi }_i⟩$ pár univerzális abban az értelemben, hogy minden más ugyanezen feltételeknek eleget tevő $⟨Y,{\psi }_i⟩$ párra egyértelműen létezik egy $u:X\to Y$ morfizmus, amely az alábbi diagramot minden $i,j\in I$-re kommutatívvá teszi:

A direkt limeszt az alábbi módon jelölik:

$X=\underrightarrow{\lim }{X}_i$

ahol a direkt rendszer továbbra is $⟨X_i,f_{ij}⟩$. Az algebrai objektumok esetével ellentétben nem minden kategóriában létezik direkt limesz. Ha viszont létezik, akkor egyértelmű abban az erős értelemben, hogy ha $X$ és $X*$ is direkt limesze ugyanannak a direkt rendszernek, akkor egyértelműen létezik egy $X*\to X$ izomorfizmus, ami a kanonikus morfizmusokkal kommutál. Itt jegyezzük meg, hogy egy ${𝒞}$ kategóriabeli direkt rendszer funktorokkal is leírható. Tetszőleges $⟨I,\le ⟩$ irányított halmaz tekinthető ${ℐ}$ kis kategóriának, ahol a morfizmusok az $i\to j$ nyilakból állnak: $i\to j$ akkor és csak akkor, ha $i\le j$. A direkt rendszer nem más, mint egy ${ℐ}\to {𝒞}$ kovariáns funktor.

Általános definíció

Legyenek ${ℐ}$ és ${𝒞}$ kategóriák. Jelölje $c_X:{ℐ}\to {𝒞}$ az $X\in Ob{𝒞}$-be menő konstans funktort. Tetszőleges $F:{ℐ}\to {𝒞}$ funktorhoz definiáljuk a

$\underset{⟶}{\lim }F:{𝒞}\to \mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}$

funktort, amely minden $X\in Ob{𝒞}$ objektumhoz a $F\to c_X$ természetes transzformációk $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(F,c_X)$ halmazát rendeli. Ha $\underset{⟶}{\lim }F$ reprezentálható, akkor a ${𝒞}$-beli reprezentáns objektumot F direkt limeszének nevezzük és szintén $\underset{⟶}{\lim }F$-fel jelöljük. Legyen a ${𝒞}$ kategória Abel, ahol objektumok tetszőleges (akár végtelen) direktösszege létezik (ez az AB3 Grothedieck axióma ). Ekkor a $\underset{⟶}{\lim }F$ funktor reprezentálható minden $F:{ℐ}\to {𝒞}$ funktorra és

$\underset{⟶}{\lim }:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({ℐ},{𝒞})\to {𝒞},F\mapsto \underset{⟶}{\lim }F$

Abel kategóriák közti jobbegzakt funktor.

Példák

• Egy M halmaz $M_i$ részhalmazainak egy családján a tartalmazás részbenrendezés. Direkt limesze az unió: $\bigcup M_i$.
• Let I be tetszőleges irányított halmaz, amelynek van legnagyobb eleme, legyen ez m. Ekkor a megfelelő direkt rendszer direkt limesze izomorf X_m-mel, a φ_m: X_m → X kanonikus morfizmus izomorfizmus.
• Legyen p prímszám. Tekintsük a Z/pⁿZ csoportok és a p-vel való szorzás által indukált Z/pⁿZ → Z/pⁿ⁺¹Z homomorfizmusok direkt rendszerét. Ennek a rendszernek a direkt limesze az összes p-hatvány rendű egységgyök által alkotott Z(p^∞) csoport.
• A direkt limesz és az inverz limesz kapcsolata:

$\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\underrightarrow{\lim }{X}_i,Y)=\underleftarrow{\lim }\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X_i,Y).$

• Tekintsük az {A_n, φ_n} sorozatot, ahol A_n C*-algebra és φ_n : A_n → A_{n + 1} *-homomorfizmus. A direkt limesz konstrukciójának C*-analogonja a fenti univerzális tulajdonságot kielégítő C*-algebra.

Kapcsolódó konstrukciók és általánosítások

A direkt limesz kategóriaelméleti értelemben vett duálisa az inverz limesz. Általánosabb kategóriaelméleti fogalmak a limesz és a kolimesz. Az elnevezések megtévesztők lehetnek: a direkt limesz kolimesz, míg az inverz limesz limesz.

Hivatkozások

• Bourbaki, Nicolas (1968), Elements of mathematics. Theory of sets, Translated from the French, Paris: Hermann, MR0237342
• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, vol. 5 (2nd ed.), Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag