Kategóriaelmélet

A kategóriaelmélet az univerzális algebrához hasonlóan felfogható matematikai struktúrák általános elméleteként, ahol a struktúrák között szerepelnek csoportok, gyűrűk, modulusok és topologikus terek. Alapfogalmai a kategóriák, funktorok, és az előbbiek által definiált természetes transzformációk. A tulajdonságokat nem az elemek közötti relációkként, hanem morfizmusokkal és funktorokkal hasonlítják össze a kategóriákat és azok típusait. Az 1940-es években a topológia egyik ágaként alakult ki. Saunders Mac Lane a Samuel Eilenberggel közös 1945-ben megjelent cikkét nevezte az első kategóriaelméleti műnek.

Bővebben

Ez a fajta absztrakció nemcsak az alapvető, elméletet átfogó fogalmak magyarázatával foglalkozik, hanem segít az egyik matematikai elméletből a másikba módszereket és fogalmakat átvinni. Ennek egy példája az, hogy a homologikus algebra módszereit az Abel-csoportokra fejlesztették ki, majd általánosították gyűrűk fölötti modulusokra is, végül a kommutatív kategóriák elméleteként teljesítették ki. A kategóriaelmélet az alapvető kérdésekkel is foglalkozik. A matematika klasszikus halmazelméleten alapuló felépítésével szemben alternatívát kínálnak azok a struktúrák, amelyekben a halmazok fontos tulajdonságait morfizmusokkal definiálják. Ezekből a halmazokból kategóriát alkotnak, majd még egy absztrakcióval kivonatolják őket. Ennélfogva a kategóriaelmélet alkalmazható a logikában, az elméleti informatikában és a matematikai fizikában.

Definíciók

Kategóriák

Legyen ${𝒞}$ egy kategória! Ekkor ${𝒞}$ a következőkből áll:

• Objektumok egy $\mathrm{Ob}({𝒞})$ osztálya
• Morfizmusok egy osztálya, ahol a morfizmus eleme a ${\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,Y),$ halmaznak, és az objektumok összes párjára definiálva van. A morfizmusok halmazát jelölik még így is: ${\mathrm{Hom}}_{{𝒞}}(X,Y)$, $[X,Y{]}_{{𝒞}}$, ${𝒞}(X,Y)$ vagy $(X,Y{)}_{{𝒞}}$. A kategória különböző morfizmusosztályai diszjunktak, tehát nem lehet olyan morfizmus, amelyik egyszerre több típusnak is tagja. Az $f:X\to Y$ morfizmus forrása $X$, amit $\mathrm{dom}(f)$ is jelöl; célja $Y$, aminek jele $\mathrm{cod}(f)$.
• Műveleti leképezések:

${\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(Y,Z)\times {\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,Y)\to {\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,Z),(g,f)\mapsto g\circ f,$

amelyek általános értelemben asszociatívak:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f),$ ahol $\mathrm{cod}(f)=\mathrm{dom}(g)$ és $\mathrm{cod}(g)=\mathrm{dom}(h)$.

Néha elhagyják a $\circ$-t, és például $h\circ g$ helyett $hg$-t írnak

• Egy identitásmorfizmus, ${\mathrm{id}}_X:X\to X$, ami minden objektumhoz önmagát rendeli. Ez az $X$ forrású és célú morfizmusok neutrális eleme a kompozícióra. Azaz ${\mathrm{id}}_X\circ f=f$, hogyha $\mathrm{cod}(f)=X$, és $f\circ {\mathrm{id}}_X=f$, ha $\mathrm{dom}(f)=X$. Az ${\mathrm{id}}_X$ jelölés helyett $1_X$ is használatos.

Részkategória

A ${𝒟}$ kategória részkategóriája a ${𝒞}$ kategóriának, ha $\mathrm{Ob}({𝒟})$ részosztálya $\mathrm{Ob}({𝒞})$-nek, és minden $D$-beli $X$ és $Y$ objektumpár ${\mathrm{Mor}}_{{𝒟}}(X,Y)$ morfizmushalmaza része a ${\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,Y)$-nak. Ha mindegyik ilyen párra ${\mathrm{Mor}}_{{𝒟}}(X,Y)={\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,Y)$, akkor a ${𝒟}$ részkategória teljes. Egy teljes részkategória egyértelműen megadható tartóhalmazával.

Duális kategória

A ${𝒞}$ kategória duális kategóriája a ${{𝒞}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ kategória, ha $\mathrm{Ob}({{𝒞}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}})=\mathrm{Ob}({𝒞})$ és

${\mathrm{Mor}}_{{{𝒞}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}(X,Y)={\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(Y,X)$.

Az identitásmorfizmus és a leképező műveletek megegyeznek a ${𝒞}$-beliekkel. Szemléletesen, ${{𝒞}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$-ban a morfizmusok a másik irányba mennek. A $({{𝒞}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}{)}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}$ kategória megegyezik ${𝒞}$-vel.

Szorzatkategória

A ${𝒞}$ és ${𝒟}$ kategóriák szorzata az a ${𝒞}\times {𝒟}$ kategória, amelynek objektumai éppen az $(X,Y)$ párok, ahol $X\in \mathrm{Ob}({𝒞})$ és $Y\in \mathrm{Ob}({𝒟})$, morfizmusai:

${\mathrm{Mor}}_{{𝒞}\times {𝒟}}((X,Y),(X^{\prime },Y^{\prime }))={\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,X^{\prime })\times {\mathrm{Mor}}_{{𝒟}}(Y,Y^{\prime })$.

A morfizmusok kompozíciója komponensenként végezhető, így $(f,g)\circ (f^{\prime },g^{\prime })=(f\circ f^{\prime },g\circ g^{\prime })$, és ${\mathrm{id}}_{(X,Y)}=({\mathrm{id}}_X,{\mathrm{id}}_Y)$.

Funktorok

Egy kovariáns funktor egy kategóriák közötti homomorfia. Egy ${𝒞}$ kategóriát a ${𝒟}$ kategóriába vivő $F$ funktor adatai a következők:

• az $F:\mathrm{Ob}({𝒞})\to \mathrm{Ob}({𝒟})$ hozzárendelés
• az $F:{\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,Y)\to {\mathrm{Mor}}_{{𝒟}}(F(X),F(Y))$ leképezések minden ${𝒞}$-beli $X$, $Y$ elempárra
• jól illeszkedik a kompozíciókhoz, azaz $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$
• tartalmazzák az identitásmorfizmust: $F({\mathrm{id}}_X)={\mathrm{id}}_{F(X)}$

Egy kontravariáns funktor, vagy kofunktor ${𝒞}$-ből ${𝒟}$-be egy ${{𝒞}}^{\mathrm{op}}\to {𝒟}$ funktor. Leírása, mint a kovariáns funktoré, a következők kivételével:

• a morfizmushalmazok leképezései ${\mathrm{Mor}}_{{𝒞}}(X,Y)$-ből ${\mathrm{Mor}}_{{𝒟}}(F(Y),F(X))$-be mennek
• a jól illeszkedés ezt jelenti: $F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$

Egy kategóriát önmagába vivő funktor az adott kategória endofunktora. Ha ${𝒞},{𝒟},{ℰ}$ kategóriák, és $F:{𝒞}\to {𝒟}$ úgy, hogy $G:{𝒟}\to {ℰ}$ ko- vagy kontravariáns funktorok, akkor a $GF$ kompozíció ${𝒞}\to {ℰ}$ is funktor, ami definiálható így:

$(G\circ F)(X)=G(F(X)),(G\circ F)(f)=G(F(f))$

$X$ objektumokra és $f$ morfizmusokra. A $GF$ funktor pontosan akkor kovariáns, ha $F$ és $G$ is ko- vagy kontravariáns, különben kontravariáns.

Természetes leképezések

A természetes leképezések a párhuzamos funktorok leképezései. A leképezés két funktorból, itt $F$-ből és $G$-ből indul ki, amelyek ugyanabból a ${𝒞}$ kategóriából ugyanabba a ${𝒟}$ kategóriába mennek. $F$ egy természetes $t$ transzformációja $G$-be tartalmaz ${𝒞}$ minden objektumra komponensként tartalmaz egy $t_X:F(X)\to G(X)$ morfizmust. Ezzel az $f:X\to Y$ morfizmussal ${𝒞}$ objektumai között ennek a diagramnak kommutatívnak kell lennie:

$\begin{array}{rcl}F(X)& \underset{}{\overset{F(f)}{\to }}& F(Y)\\ t_X\downarrow & & \downarrow t_Y\\ G(X)& \underset{G(f)}{\overset{}{\to }}& G(Y)\\ \end{array}$

Képlettel: $t_Y\circ F(f)=G(f)\circ t_X$. Az $F$ és $G$ ${𝒞}$-ből ${𝒟}$-be menő funktorok természetesen ekvivalensek, ha vannak természetes $t:F\to G$ és $u:G\to F$ transzformációk, amelyekre $tu$ és $ut$ identitás. Másként: a természetes ekvivalencia izomorfia a funktorok kategóriájában. Egy $t$ természetes leképezés pontosan akkor természetes ekvivalencia, ha minden komponense izomorfia. Az $F:{𝒞}\to {𝒟}$ funktor kategóriaekvivalencia, ha van egy $G:{𝒟}\to {𝒞}$ funktor, hogy $FG$ és $GF$ rendre természetesen ekvivalens ${𝒟}$, illetve ${𝒞}$ identitásával. Megmutatható, hogy a kategóriaekvivalenciák teljesen hűek, és lényegében szürjektívek.

Példák

Kategóriák

A szakirodalomban nincsenek egységes jelölések a különféle kategóriák számára. A kategória leírását gyakran zárójelbe teszik.

• A Set kategória a halmazok kategóriája. A kategória az $\mathrm{Ob}(\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t})$ összes halmaz osztálya, ellátva az összes $X$-ből $Y$-ba menő leképezéssel, mint morfizmussal, azaz ${\mathrm{Mor}}_{\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}}(X,Y)=Y^X.$ A morfizmusok közötti művelet a kompozíció.
• A PoSet vagy Pos kategória objektumai a részben rendezett halmazok, morfizmusai a monoton leképezések.
• A Top kategória objektumai a topologikus terek, morfizmusai a folytonos leképezések. Ennek teljes kategóriája a KHaus kompakt Hausdorff-terek kategóriája.
• A Grp avagy Gr a csoportok kategóriája, és morfizmusai a csoporthomomorfizmusok. Ennek teljes alkategóriája az Abel-csoportok AbGrp vagy Ab kategóriája.
• Az NLinSp kategória a normált lineáris terek kategóriája a folytonos (korlátos) lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Részkategóriát alkotnak például a Banach-terek a folytonos lineáris leképezésekkel (BanSp₁ kategória), vagy folytonos normaredukált leképezésekkel (BanSp₂ kategória), vagy az egységelemes kommutatív komplex Banach-algebrák a normaredukált algebrahomomorfizmusokkal.
• A Cat vagy Kat a kis kategóriák kategóriája. Egy kategória akkor kicsi, ha morfizmusainak osztálya halmaz. Az objektumok a kis kategóriák, a morfizmusok a funktorok. A kis kategóriákra vonatkozó korlátozásnak halmazelméleti okai vannak.
• Egy halmaz az $(X,\le )$ részben rendezéssel meghatároz egy kategóriát: az objektumok a halmaz elemei, az elempárok $\mathrm{Mor}(a,b)$ morfizmusai akkor tartalmaznak egy elemet, ha $a\le b$, különben üresek.
• Ha az $X$ halmaz üres, akkor egy objektumok ér morfizmusok nélküli kategóriát határoz meg. Ez a $\mathbf{0}$ kezdeti, vagy üres kategória.
• Ha $X$ egy elemű, akkor az $\mathbf{1}$ végső kategória keletkezik, ami egy objektumból és ennek identitásmorfizmusából áll.
• Ha ${𝒞}$ és ${𝒟}$ kategóriák, akkor a $\mathrm{Mor}({𝒞},{𝒟})$ funktorkategória objektumai a ${𝒞}$-ből ${𝒟}$-be menő funktorok, morfizmusai a természetes transzformációk.
• Ha ${𝒞}$ kategória, és $S$ eleme ${𝒞}$-nek, akkor az $S$ fölötti ${𝒞}/S$ kategória így definiálható: ${𝒞}/S$ objektumai ${𝒞}$ $S$ célú morfizmusai, és ${𝒞}/S$ morfizmusai ${𝒞}$-nek azok a morfizmusai, amelyek struktúrahomomorfizmussal $S$-be vihetők. Azaz $f:X\to S$ és $g:Y\to S$ ${𝒞}/S$ objektumai, így az $(X,f)$-ből $(Y,g)$-be menő $h$ morfizmusok ${𝒞}/S$-ban azok a morfizmusok, amelyekre $gh=f$ teljesül.
• Megfordítva, legyen * rögzített egy pontos topologikus tér; ekkor a * alatti topologikus terek kategóriája izomorf a Top^* pontozott topologikus terek kategóriájával.

A legtöbb fenti kategória olyan, vagy reprezentálható úgy, hogy objektumai műveletekkel ellátott halmazok legyenek, morfizmusai az ezek szerkezetére illeszkedő homomorfizmusok, és a morfizmusok közötti művelet a kompozíció. Az ilyen kategóriák konkrétok. A konkretizálható kategóriák azok, amelyek ekvivalensek egy konkrét kategóriával. De vannak más, nem konkretizálható kategóriák is:

• A HoTop avagy hTop objektumai topologikus terek, morfizmusai a folytonos leképezések homotópiaosztályai.
• A kis kategóriák kategóriája a funktorok természetes ekvivalenciaosztályaival, mint morfizmusokkal.

Funktorok

A funktorokat többnyire az objektumok hozzárendelésével adják meg, ha a morfizmushalmazok leképezései azokból könnyen levezethetők.

• A C kategória egy T objektumára az

X $\mapsto$ Mor_C(T,X)

hozzárendelés (kovariáns) C → Set. funktor. Az

X $\mapsto$ Mor_C(X,T)

funktor kontravariáns. Lásd még: Hom-funktor.

• Legyen $K$ test, és ${\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K$ a $K$ fölötti vektorterek kategóriája a $K$-lineáris leképezésekkel, mint morphizmusokkal. Legyen egy

kontravariáns funktor így definiálva:

$D:{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K\to {\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K$ ahol:

• egy $V$ objektum $D(V)=V^{*}={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_K(V,K)$ $V$ duális tere
• egy $f:V\to W$ lineáris leképezésre

$D(f):W^{*}\to V^{*},\lambda \mapsto \lambda \circ f.$

Könnyen belátható, hogy $D(f\circ g)=D(g)\circ D(f)$ és $D({\mathrm{i}\mathrm{d}}_V)={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{V^{*}}$.

• G_m: (gyűrűk) → (csoportok): az egységelemes gyűrűkhöz az egységelemüket rendeli. Általában: GL_n: (gyűrűk) → (csoportok): a gyűrűkhöz az általános lineáris csoportot rendeli, vagyis az invertálható n×n-es mátrixok csoportját.
• A fundamentális csoport egy Top → Grp funktor; a magasabb homotópiák és a homológiacsoportok Top → Ab funktorok; a kohomológiacsoportok Top → Ab kontravariáns funktorok.
• A részben rendezett halmazok által meghatározott kategóriák funktorai éppen a monoton függvények.
• Felejtő funktorok: Nyilván léteznek Ab → Set, Ab → Grp, Top → Set és más hasonló funktorok, amelyek egyszerűen elfelejtik egy struktúra egy részét, például az Abel-csoportokhoz a csoportot, de a kommutativitás, mint információ nélkül, vagy a tartóhalmazt rendelik műveletek nélkül; hasonlóan, egy topologikus térhez a tartóhalmazát rendelik, és így tovább.
• Szabad konstrukciók, például a szabad Abel-csoportok: Minden $S$ halmazhoz hozzárendelhetjük az $F(S):=\{a:S\to \mathbb{\mathbb{Z}}|a(s)\ne 0\text{legfeljebb véges sok}s\in S\}$ Abel-csoportot pontonkénti összeadással. A leképezések nyilvánvaló $F(f):a\mapsto t\mapsto \sum _{s\in f^{-1}(t)}a(s)$ hozzárendeléseivel adódik egy Set-ből Ab-be menő funktor. Ekkor fennáll egy ${\mathrm{Mor}}_{Set}(S,V(A))\cong {\mathrm{Mor}}_{Ab}(F(S),A)$ kanonikus izomorfia, ahol V felejtő funktor. Azt mondjuk, hogy F a V-hez (bal)adjungált funktor.

Sok felejtő funktorhoz léteznek hasonló konstrukciók.

Természetes transzformációk

• A továbbiakban a duális tér funktorainak szakaszában használt jelöléseket használjuk újra. Egy V vektortér

${\tau }_V:V\to V^{**},v\mapsto (\lambda \mapsto \lambda (v))$

leképezései a biduális terébe természetes transzformációk:

$\tau :{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{{\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{k}\mathrm{t}}_K}\to D\circ D.$

A véges dimenziós vektorterek teljes részkategóriáján $\tau$ természetes ekvivalencia.

• det: GL_n → G_m: Egy R gyűrűre a det_R GL_n(R) → R^× csoporthomomorfia.
• A Hurewicz-leképezés:

${\pi }_k(X)\to H_k(X,\mathbb{\mathbb{Z}})$

• Kohomlógiában a cupszorzat.
• Egy csoport Abelizációja:

$G\to G^{\mathrm{a}b}:=G/[G,G]$

Yoneda-lemma és általános konstrukciók

Az univerzális konstrukciók egyszerű fogalmakat visznek át a halmazok kategóriájából más kategóriákba. Legyen C kategória. Az

$h:C\to \mathbf{M}\mathbf{o}\mathbf{r}(C^{\mathrm{o}\mathrm{p}},\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t}),$

funktor, ami egy X objektumhoz az

$h_X:T\mapsto {\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}}_C(T,X)$

funktort rendeli, teljesen hű. Általában, a C X objektumaira és Mor(C^op,Set) F funktoraira:

${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}}_{\mathbf{M}\mathbf{o}\mathbf{r}(C^{\mathrm{o}\mathrm{p}},\mathbf{S}\mathbf{e}\mathbf{t})}(h_X,F)=F(X)$.

A fenti Yoneda-lemma lehetővé teszi a szerkezeti transzfert, vagyis a halmazok kategóriájának tulajdonságainak általánosítását. Például a Descartes-szorzat: az X_i objektumok Descartes-szorzata P, hogyha h(P) objektumonként megegyezik a h(X_i)-k szorzatával, vagyis:

$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}(T,P)\cong \prod \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{r}(T,X_i)$

ahol $\cong$ a T-beli funktorok természetes ekvivalenciája. Ennek a természetes ekvivalenciának T = P esetén id_P-nek kell lennie, és hasonlóan a pr_i morfizmusokra: P → X_i. Ekkor a Yoneda-lemma szerint P kanonikus izomorfia erejéig egyértelmű: ha Mor(_,P) és Mor(_,Q) t szerint természetesen ekvivalens funktorok, akkor P és Q izomorfiáját t_P(id_P) biztosítja. Ez a kategóriaszorzat univerzális a következő értelemben: adott f_i: T → X_i leképezések megjelennek az pr_i: P → X_i univerzális leképezésben, tehát létezik egy c: T → P leképezés, hogy T → P, így f_i = pr_i c. Sőt, az így kapott konstrukcióknak képezhető a duálisa is, amit többnyire ko előtag jelöl. Ezek a duális kategóriákra alkalmazott ugyanilyen konstrukciók. Így például C kategória X_i objektumainak koszorzata ugyanaz, mint C duálisában az X_i elemek duálisainak szorzata. Hasonlóan vihetők át tulajdonságok is: ha például az X → Y morfizmus monomorfizmus, ha h(X) → h(Y) objektumonként injektív. Speciális általános konstrukciók:

• Szorzat és koszorzat
• Kezdeti objektumok és végobjektumok
• differenciamag és differenciakomag
• általános limeszek és kolimeszek
• injektív és projektív objektumok
• adjungált funktorok

Források

Bevezetés:

• F. W. Lawvere, Stephen Schanuel: Conceptual Mathematics. A first introduction to categories, Cambridge, 1997. ISBN 0-521-47817-0 (hardback ISBN 0-521-47249-0).
• Steve Awodey: Category Theory, Claredon Press, Oxford, 2006. ISBN 978-0-19-856861-2.
• Michael Arbib, Ernest G. Manes: Arrows, Structures and Functors. The Categorical Imperative, Academic Press, 1975.
• Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik und Informatik: Kategorien und Automaten, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1972. ISBN 3-11-003902-8 (Das Buch gibt in den Kapiteln 1, 3 und 5 eine in sich abgeschlossene Einführung in die allgemeine Kategorientheorie und in den Kapiteln 2, 4 und 6 wird die Automatentheorie mit kategoriellen Methoden entwickelt.)
• Samson Abramsky, Nikos Tzevelekos: Introduction to Categories and Categorical Logic

Klasszikus tankönyvek:

• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.
• Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory: An Introduction. Boston 1973.
• Saunders Mac Lane: Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie. Berlin 1972, vii, 295 pp. – (Categories for the Working Mathematician <1971, deutsch>) vergriffen engl. Ausgabe ISBN 0-387-98403-8
• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2nd ed., Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8
• Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. B.G. Teubner, Stuttgart 1969.
• Horst Schubert: Kategorien I/II. Springer, 1970.

Kézikönyv:

• Francis Borceux: Handbook of categorical algebra. 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). – Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, 0-521-44179-X, 0-521-44180-3

Gyűjtemény:

• W. Gähler, G. Preuss: Categorical Structures and their Applications. Archiválva 2011. január 9-i dátummal a Wayback Machine-ben World Scientific, 2004. ISBN 981-256-053-X

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Kategorientheorie című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.