Egyenletes eloszlás

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

A valószínűségszámításban egy X folytonos valószínűségi változót az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:

$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ a\le x\le b,\\ 0& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ x<a \\ \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{g}\mathrm{y} \\ x>b\end{array} \end{gathered}$$

A véletlengenerátorokat úgy tervezik, hogy egy adott intervallumon minél inkább megközelítsék az egyenletes eloszlást. Beszélnek diszkrét egyenletes eloszlásról is. Ilyen például a szabályos dobókockával dobott számok eloszlása.

Jellemző függvényei

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

Eloszlásfüggvénye

$$\begin{gathered} F(x)=\{\begin{array}{ll}0& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ x<a,\\ \frac{x-a}{b-a}& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ a\le x\le b,\\ 1& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ x>b\\ \end{array} \end{gathered}$$

Karakterisztikus függvénye

$\phi (t)=\frac{e^{it\frac{a+b}{2}\sin t\frac{b-a}{2}}}{t\frac{b-a}{2}}$

A sűrűségfüggvényének tulajdonságai

• Szimmetrikus az (a+b)/2 pontra.
• Az [a,b] intervallum minden pontja maximumhely.
• A konvolúció kisimítja az eloszlásfüggvényt.
  • Két ugyanolyan paraméterezésű egyenletes eloszlású valószínűségi változó konvolúciója háztetőfüggvényt ad.
  • Három ugyanolyan paraméterezésű egyenletes eloszlású függvény konvolúciója már folytonosan differenciálható.

Jellemző mennyiségei

Várható értéke

$\mathbf{E}(X)=\frac{a+b}{2}$

Szórása

$\mathbf{D}(X)=\frac{b-a}{\sqrt{12}}$

Momentumai A páratlan centrális momentumai nullával egyenlőek, a párosak

$\mathbf{E}(X-\mathbf{E}(X){)}^{2r}={\left(\frac{b-a}{2}\right)}^{2r}(2r+1{)}^{-1}$

Ferdesége

${\beta }_1(X)=0$

Lapultsága

${\beta }_2(X)=-1,2$

Diszkrét egyenletes eloszlás

Be lehet vezetni diszkrét egyenletes eloszlást is. Ekkor a felvehető értékek halmaza nem egy intervallum, hanem különálló számok véges halmaza, amik mind ugyanolyan valószínűséggel adódnak. Ilyen például a szabályos kockadobás eredménye. Az értékek halmaza {1,2,3,4,5,6}, és mindegyiknek 1/6 a valószínűsége. Ha a kocka nem szabályos, és valamelyik számnak nagyobb a valószínűsége, mint a többinek, akkor a dobás eredménye nem lesz egyenletes eloszlású.

Többdimenziós egyenletes eloszlás

Az egydimenziós esethez hasonlóan definiálható a magasabb dimenziós egyenletes eloszlás. Legyen G véges mérhető halmaz. Akkor mondjuk, hogy X egyenletes eloszlású valószínűségi változó G-n, ha G bármely mérhető részhalmazára annak mértékével arányos valószínűséggel esik. Jelölje G mértékét (területét, térfogatát) λ(G)! Ekkor X sűrűségfüggvénye:

$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\lambda (G)}& \mathrm{h}\mathrm{a} \\ x\in G,\\ 0& \mathrm{e}\mathrm{g}\mathrm{y}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{b}\mathrm{k}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{n}\mathrm{t}\\ \end{array} \end{gathered}$$

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]
• Diszkrét egyenletes eloszlás