Einstein-féle összegkonvenció

Az Einstein-féle összegkonvenció, más néven Einstein-féle automatikus összegkonvenció avagy Einstein-féle néma index konvenció egy indexes jelölés az összegekre a Ricci-kalkulusban. Azt jelenti, hogy az azonos indexű tagok összeadandók, és nem tünteti fel a szumma jelet. A Ricci-kalkulust a differenciálgeometriában, a tenzoranalízisben és az elméleti fizikában használják. A konvenciót Albert Einstein 1916-ban javasolta.

Motiváció

A mátrix- és tenzorszámításokban gyakran képződnek indexes összegek. Például két $n\times n$-es mátrix, A és B szorzata:

$(A\cdot B{)}_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}\cdot B_{kj}$

Itt a k indexre összegzünk 1-től n-ig. A többszörös mátrix- és skalárszorzatok hamar átláthatatlanná válnak. A fenti szorzat az Einstein-féle összegkonvencióval:

$(A\cdot B{)}_{ij}=A_{ik}\cdot B_{kj}$

Formálisan

Az összegkonvenció legegyszerűbb változata így hangzik: ha egy szorzatban egy index kétszer is felbukkan, akkor összegzünk rá. A relativitáselméletben csak akkor összegeznek, ha a kovariáns és a kontravariáns index egyezik meg. Ezt a kétféle indexet úgy különböztetik meg egymástól, hogy a kovariáns indexet alulra, a kontravariáns indexet pedig felülre teszik. Az összegzési konvencióval az írásmód rövidebb, és segít felismerni olyan szimmetriákat és összefüggéseket, amelyek a hagyományos írásmódban felismerés nélkül maradnának.

Példák

Különbségtétel nélkül

A következő példában $A,B$ $n\times n$-es mátrix, értékeik $A_{ij},B_{ij}$ és $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n),\overrightarrow{y}=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ hozzájuk illeszkedő vektorok.

• Skaláris szorzat: $\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=x_i{y}_i$.
• Mátrix-vektor szorzat: ${\left(A\overrightarrow{x}\right)}_i=A_{ij}{x}_j$
• Több mátrix szorzata (itt négy): $(ABCD{)}_{ij}=A_{il}{B}_{lm}{C}_{mn}{D}_{nj}$.
• Az A mátrix nyoma: $\text{Spur}A=A_{ii}$

Kovariáns és kontravariáns indexek szerint

• Az $A_j^i$ és $B_j^i$ komponensű tenzorok $C_j^i$ komponensű szorzata $C_j^i=A_k^i{B}_j^k$
• Az $A_j^i$ komponensű tenzor alkalmazása az $x^i,y^i$ összegére a $z^i$ vektort adja: $z^i=A_j^i(x^j+y^j)$.
• A t tenzormező egy $U$ környezetben ábrázolható, mint:

$t{|}_U=t_{j_1,\dots ,j_s}^{i_1,\dots ,i_r}\frac{\partial }{\partial x^{i_1}}\otimes \cdots \otimes \frac{\partial }{\partial x^{i_r}}\otimes \mathrm{d}{x}^{j_1}\otimes \cdots \otimes \mathrm{d}{x}^{j_s}.$

ahol az $\frac{\partial }{\partial x^{i_1}}$ objektum indexe alsó indexnek tekintendő.

Források

• Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, ISSN 0003-3804, 770–822, (online (PDF; 3,72 MB).