Eltolás

Eltolás

A geometriában az eltolás az egybevágósági transzformációk közé tartozik. Ha a sík vagy a tér minden pontjának képe ugyanabban az irányban, ugyanakkora távolságban fekszik, akkor a transzformáció eltolás. Ha adva van a $v$ vektor, akkor a vele való eltolásban minden $P$ pont $P^{\prime }$ képére teljesül, hogy a $\overrightarrow{P{P}^{\prime }}$ vektor egyenlő $v$-vel. Az identitás is felfogható eltolásnak; ekkor az eltolásvektor a nullvektor.

Tulajdonságok

• antiszimmetria
• nincs fixpontja, kivéve, ha identitás
• az eltolás irányával párhuzamos egyenesek, síkok invariánsak
• az egyenesek, síkok, … párhuzamosak képükkel
• megtartja a körüljárási irányt
• több egymás utáni eltolás szorzata egy eltolással helyettesíthető
• előáll két, az eltolás irányára merőleges tengelyű (síkra) tükrözés szorzataként, amely tengelyek (síkok) távolsága egyenlő az eltolási vektor hosszának felével
• a síkban eltolás és forgatás szorzata forgatás; a térben csavarmozgás
• egy adott sík vagy tér forgatásai csoportot alkotnak
• az eltolás inverze az ellentett vektorral vett eltolás
• megadható eltolásvektorral vagy (pont, pont képe) párral

Algebra

Az n-dimenziós tér eltolásai Abel-csoportot alkotnak, amiben a művelet az eltolások egymás utáni elvégzése. Ebben a csoportban a kompozíciós (○) helyett inkább az additív (+) jelölést használják, mert így elmondható, hogy az eltolások összegének vektora az összeadandó eltolások vektorainak összege. Több is igaz. Az n dimenziós $\mathbb{𝕂}$ test fölötti vektortér eltolásai mint leképezések vektorteret alkotnak az összeadás és a skaláris szorzás műveleteivel, hiszen egy eltolási leképezést megfeleltethetünk az eltolási vektorának. Ezért az eltolások mint leképezések halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér, ahol a skalárok a $\mathbb{𝕂}$ test elemei. Ennek a vektortérnek a dimenziója n, ugyanúgy, mint a kiindulási vektortéré. Fontos megjegyezni, hogy valódi eltolás nem lineáris leképezés, mert a nullvektort nem hagyja helyben.

Eltolás homogén koordinátákban

Ha a derékszögű koordinátákhoz hozzáveszünk még egy koordinátát, és azonosnak tekintjük azokat a pontokat, amik skalárszorosai egymásnak. Tehát homogén koordinátákban $[x_0:x_1:...:x_n]=[\lambda x_0:\lambda x_1:...:\lambda x_n]$. A homogén koordináták használatával

• kezelhetővé válik az n dimenziós tér projektív lezártja
• a geometriai transzformációk mátrixszorzással hajthatók végre: egységesen lehet kezelni az eltolást és a lineáris leképezéseket
• a transzformációk több dimenzióra is általánosíthatók
• több transzformáció egymásutánja a megfelelő mátrixok szorzatával helyettesíthető

Mindezekkel csökken a számítási igény, ami fontos például a képalkotásban. Három dimenzió esetén az eltolás homogén koordinátákban megadott mátrixa így néz ki:

$T_{\mathbf{v}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& v_x\\ 0& 1& 0& v_y\\ 0& 0& 1& v_z\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

ahol $v_x,v_y,v_z$ rendre a v eltolásvektor x,y,z koordinátája. A képalkotó eljárásokban balról szokták szorozni a mátrixokat: ha az A mátrixot szorozzák az x vektorral, akkor az $xA$ szorzatot veszik. Ezért az eltolásvektor koordinátái az utolsó sorba kerülnek:

$T_{\mathbf{v}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ v_x& v_y& v_z& 1\end{array}\right].$

A sík eltolásai reprezentálhatók a komplex számok összeadásával, a tér eltolásai pedig a kvaterniók segítségével.

Források

• https://web.archive.org/web/20081021092706/http://web.axelero.hu/ebalog/matektetel.htm
• https://web.archive.org/web/20110926082024/http://www.geo.u-szeged.hu/~bodis/maths/szakdolgozat/#2.2
• https://web.archive.org/web/20160308051506/http://kemeny-eger.sulinet.hu/public/doks/matematika/tetel15.pdf
• https://web.archive.org/web/20081109194722/http://bel.freeweb.hu/e3/matek2.html (Megszűnt a lap. Te is segíthetsz megfelelő hivatkozást találni!)
• http://files.szt.ektf.hu/dl.php?file=files%2FTan%C3%A1ri+Megoszt%C3%A1sok%2FKov%C3%A1cs+Em%C5%91d%2Fgrafika%2F!Komputergrafika+vizsga+seg%C3%A9danyagjai%2FKrammer+jegyzet+v%C3%A1ltozat%2FG4ADO-Mellekletek.rtf eltolás inverze
• https://web.archive.org/web/20081104062923/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm
• https://web.archive.org/web/20081205021741/http://xml.inf.elte.hu/~mathdid/szakdolg/viki/lexindex.html
• https://web.archive.org/web/20160305044726/http://www.hefop.u-szeged.hu/hefop_kk/documents/Tananyag/SZTE/Euklideszi_geometria.pdf
• http://bme.selye.sk/segedanyagok/szigorlat/bsz/bsz1/bsz1_osszefoglalo.rtf az eltolás nem lin. lek., mert a nullvektort nem a nullába viszi
• https://web.archive.org/web/20090412103937/http://www.agt.bme.hu/szakm/szg/homogen.htm homogén koordináták: miért?
• http://prog.hu/cikkek/868/Homogen+koordinatak+es+transzformaciok/oldal/1.html és a továbbiak
• https://web.archive.org/web/20080616192331/http://www.ngkszki.hu/~trembe/szakdoga/05.htm reprezentáció komplex számokkal
• https://web.archive.org/web/20160304093420/http://zeus.nyf.hu/~mattan/faliujsag/Fejezetek_geombol3.pdf