Függvényalgebra

A függvényalgebra az algebra és az analízis egyik fontos fogalma. Lényegében a vektorterek egy speciális fajtája, amikor egy test felett értelmezett függvényeket látunk el alkalmasan műveletekkel. A függvényalgebráknak a fizikában, különösen a modern fizikában vannak fontos alkalmazásai.

Definíció

Legyen $H$ halmaz, $\mathbb{𝕋}$ test és $A:={ℱ}(H,\mathbb{𝕋})$ a $H\to \mathbb{𝕋}$ függvények halmaza. Értelmezzünk ezen a halmazon három műveletet!

$\begin{array}{rl}+& :A\times A\to A,(x+y)(t)=x(t)+y(t);\\ \cdot & :A\times A\to A,(x\cdot y)(t)=x(t)\cdot y(t)\\ .& :\mathbb{𝕋}\times A,(\lambda .x)(t)=\lambda \cdot x(t)\end{array}$

Az $(A;+;.;\cdot )$ négyest nevezzük függvényalgebrának.

Tulajdonságok

• Ha a $\cdot$ művelet kommutatív, akkor a függvényalgebra kommutatív.
• Ha A-nak van neutrális eleme $\cdot$-ra nézve, akkor az algebra egységelemes.
• Ha $B\in A$ és $(B;+;.;\cdot )$ függvényalgebra, akkor B részalgebrája A-nak.
• A fenti műveleteket a definíciójuk alapján pontonkénti műveleteknek nevezzük.
• Ha egy vektorteret egy belső művelettel kiegészítünk, akkor algebrát, ha a vektortér elemei függvények, akkor függvényalgebrát kapunk.

Példák

1. A valós számok egy intervallumán értelmezett folytonos függvények halmaza a valós számok felett függvényalgebra a szokásos műveletekkel ellátva.
2. A valós számok egy intervallumán értelmezett korlátos függvények is függvényalgebrát alkotnak a valós számok felett a szokásos műveletekkel.

Lásd még

• Függvény
• Vektortér
• Matematikai struktúra