Függvények relációalgebrája

Minthogy a matematika sztenderdnek tekinthető, halmazelméleti felépítésében a függvények speciális relációk, ezért a függvényekre is értelmezhetőek mindazon relációalgebrai tulajdonságok, melyek a relációk vizsgálata, osztályzása során fontossággal bírnak. Alapvető kérdés, hogy a függvényekkel végzett relációoperációk milyen feltételek mellett őrzik meg a reláció egyértelműségét, azaz függvény voltát. Ezen felül általában problémának számít az, hogy ha egy függvény rendelkezik valamilyen, a relációkalkulus által vizsgálható tulajdonsággal, az hogyan őrződik meg (vagy épp veszik el) a függvénnyel végzett valamilyen relációoperáció során.

Függvények relációalgebrai tulajdonságai

Injektív függvény

Azt mondjuk, hogy az f :A $\to$ B függvény injektív, ha különbözőkhöz különbözőket rendel, azaz

$(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in A)(x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ vagy másként:

$(\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in A)(f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2)$

Ekkor még azt is mondjuk, hogy f injekció A-ból B-be, illetve néha, hogy f kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű. Az injektív tulajdonság az alapja számos egyenlet szokásos megoldási módjának. Például:

${\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{x}_1={\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}}_a{x}_2$
$\Downarrow$
$x_1=x_2$

nem 1, pozitív a esetén vagy

$a^{x_1}=a^{x_2}$
$\Downarrow$
$x_1=x_2$

szintén nem 1, pozitív a esetén. Az injektív függvények relációinverze szintén függvény (illetve függvényszerű). Egy f :A $\to$ B függvény pontosan akkor injektív, ha van balinverze.

Szürjektív függvény

Azt mondjuk, hogy az f: A $\to$ B függvény szürjekció A és B között, vagy ráképez B-re, ha B minden eleme előáll az A halmaz valamely elemének f általi képeként, azaz:

$(\mathrm{\forall }y\in B)(\mathrm{\exists }x\in A)(f(x)=y)$

Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor még azt is mondják, hogy szürjektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez. Röviden mindez azt jelenti, hogy B = Ran(f). Szokás még használni az f:A$\to$ B ráképez H-ra kijelentést is arra az esetre, ha H ⊆ Ran(f). Egy f:A$\to$ B függvénynek pontosan akkor van B$\to$ A típusú jobbinverze, ha f ráképez B-re.

Bijektív függvény

Az f:A$\to$ B függvényről azt mondjuk, hogy bijekció A-ból B-be, ha injektív és ráképez B-re. Sokszor az ilyen függvényre mondják, hogy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű annak ellenére, hogy az injektív függvényeket is így nevezik. Ha a függvény az (A, B, f) algebrai szemléletű definíció szerint van definiálva, akkor az előbbi esetben még azt is mondják, hogy bijektív. Ez a megfogalmazás a halmazelméleti definíció esetén értelmetlen, mert ekkor nincs kijelölve az a halmaz, amelyre f ráképez.

Függvényműveletek

Függvényszorzás vagy függvénykompozíció

A függvények körében értelmezett művelet az függvénykompozíció, avagy az összetett vagy közvetett függvény képzése. Ha g : A $\to$ B és f : C $\to$ D két függvény, akkor ezeknek kompozíciója az a függvény, melynek értelmezési tartománya az A azon elemeiből áll, melyeket a g az f értelmezési tartományába képezi és melynek hozzárendelési utasítása:

$f\circ g:x\mapsto f(g(x))$

Itt g-t a kompozíció belső függvényének, az f-et a külső függvényének nevezzük. Az g : A $\to$ B és f : C $\to$ D függvények f o g kompozíciójának értelmezési tartománya tehát:

$\mathrm{D}\mathrm{o}\mathrm{m}(f\circ g)=\{x\in A\mid g(x)\in C\}$

Néha a kompozíció definíciójában kikötik, hogy ez ne legyen üres, amit biztosíthatunk azzal a megkötéssel, hogy se A, se Ran(g) ∩ C ne legyen üres. Abban a speciális esetben, amikor g értékkészlete része C-nek, a kompozíció a teljes A halmazon értelmezve van, tehát f o g egy A $\to$ D függvény. Ha ezen kívül B = C és g és f is szürjekció (értsd: g ráképez B-re, f ráképez D-re), akkor f o g is szürjekció. A függvénykompozíció művelete asszociatív:

$(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$

Identitásfüggvény

Minden H halmaz esetén van egy kitüntetett jelentőségű függvény, mely H-n értelmezett és H-ra képez, az

${\mathrm{i}\mathrm{d}}_H:H\to H;x\mapsto x$

függvény, melyet a H-n értelmezett identitásfüggvénynek nevezünk. Minden f : A $\to$ B függvényre

$f\circ {\mathrm{i}\mathrm{d}}_A=f$ és ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_B\circ f=f$

Inverz

Ha egy f: A $\to$ B bijekció A és B között (különbözőkhöz különbözőket rendel és ráképez B-re), akkor létezik inverze, azaz egyetlen olyan f⁻¹ függvény, melyre:

$f\circ f^{-1}={\mathrm{i}\mathrm{d}}_B$ és $f^{-1}\circ f={\mathrm{i}\mathrm{d}}_A$

Itt id_A az identitás leképezés, tehát az A $\to$ A; x $\mapsto$ x függvény. Néhány tulajdonság:

$(f^{-1}{)}^{-1}=f$

$(f\circ g{)}^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}$

feltéve, hogy a fenti egyenlőségek mindkét oldala értelmezett.