FWER

A statisztikában a FWER (Family-wise error rate) annak a valószínűsége, hogy egy vagy több hamis megállapítást teszünk, illetve az elsődfajú hiba valószínűsége többszörös hipotézisvizsgálatnál.

Története

A szakkifejezést John Tukey alkotta, jelentése: hibaráta, kísérletenkénti hibaráta. Célja az volt, hogy kimutassa azt a hibahatárt, amivel a kutatások dolgozhatnak. A kutatásokban ez a többszörös hipotézisvizsgálat egyféle kontroll-szintjeként működik.

Háttere

A „család” kifejezésnek különböző statisztikai definíciói vannak:

• Hochberg és Tamhane 1987-ben olyan következtetések gyűjteményeként definiálta, amelyeket a hibamérésnél érdemes számba venni.
• Cox 1982-ben az alábbiakat állapította meg a „családra” vonatkozóan:
  1. Az adatbányászat miatt számításba kell venni a szelekciós hatást.
  2. Ahhoz, hogy helyes döntést lehessen hozni, a következmények egy csoportjának biztosítani kell az egyidejű bekövetkeztét.

A család leginkább a lehetséges szelekciós következmények, következtetések figyelembe vételeként definiálható. A család az analízis legkisebb item-gyűjteménye. Jelentésük bizonyos esetekben felcserélhető, attól függően, hogy az aktuális mérések eredményei mely jelentés kiemelését teszik lehetővé.

Az összetett hipotézisvizsgálat osztályozása

A lenti táblázat összefoglalja a nullhipotézisek összetett vizsgálatának lehetséges kimeneteleit. Feltesszük, hogy m darab nullhipotézissel rendelkezünk, amiket H₁, H₂, ..., H_m-mel jelölünk. A statisztikai próba során elvetjük a nullhipotézist, ha a próba szignifikánsnak bizonyul. Ha a teszt nem mutat szignifikáns eredményt, a nullhipotézist megtartjuk. Az összes fajta kimenetel összegzésével a következő valószínűségi változókat kapjuk:

	A nullhipotézis igaz (H0)	Az ellenhipotézis igaz (HA)	Összes eset
A teszt szignifikáns eredményt hoz	V	S	R
A teszt nem hoz szignifikáns eredményt	U	T	m - R
Összes eset	m0	m - m0	m

• H₀: nullhipotézis
• H_A: ellenhipotézis
• m: az összes tesztelt hipotézis száma
• m₀: az igaz nullhipotézisek száma, ismeretlen paraméter
• m - m₀: az igaz ellenhipotézisek száma
• V: tévesen elfogadott ellenhipotézisek száma (elsőfajú hiba)
• S: megfelelően elfogadott ellenhipotézisek száma
• T: tévesen elvetett nullhipotézisek száma (másodfajú hiba)
• U: megfelelően elvetett nullhipotézisek száma
• R = V + S: elvetett nullhipotézisek száma

Az m darab hipotézisvizsgálatnál, ahol m₀ az igaz nullhipotézisek számát jelöli, az R egy megfigyelhető random változó, az S, T, U és V változók pedig nem megfigyelhető random változók.

Definíció

A FWER annak a valószínűsége, hogy legalább egy elsőfajú hibát vétünk a családban. $FWER=Pr(V⩾),$ ami ekvivalens azzal, hogy $FWER=1-Pr(V=0).$ Ily módon, a $FWER\le \alpha$ állítás szerint, annak a valószínűségét, hogy egy vagy több elsőfajú hibát vétünk, $\alpha$-szinttel szokás kontrollálni. Az $\alpha$ gyenge kontrollnak minősül, ha a kontroll csak a globális nullhipotézis teljesülése mellett garantált. A FWER erősen van kontrollálva, ha az $\alpha$-szint bármely null- és ellenhipotézis konfigurációjának teljesülését garantálja (akár igaz, akár hamis a globális nullhipotézis).

Kontrolláló eljárások

Az alábbi kontrolláló eljárások közül néhány klasszikus eljárás, melyek a FWER erős $\alpha$-kontrollját biztosítják, illetve találunk néhány újabb eljárást is. Ezen eljárások célja, hogy legalább egy hamis eredmény valószínűségét limitálják.

Alternatív megközelítések

A FWER-kontroll szigorúbb módon kezeli a tévkövetkeztetéseket (false discovery), mint az FDR (false discovery rate) eljárások. A FWER kontroll csak annak valószínűségére korlátozódik, hogy legalább egy hibás döntést hozunk, míg a FDR tágabb értelemben, a tévkövetkeztetések várt arányára korlátozódik. Ily módon a FDR eljárásoknak nagyobb ára is van: esetükben megnő az elsőfajú hiba aránya, azaz nagyobb arányban vetünk el valós nullhipotéziseket. A másik oldalról pedig a FWER kevésbé szigorú, mint a családra vonatkozó hibaarány-kontroll (per-family error rate control), ugyanis ebben az esetben a várt hibák száma a családra vonatkozóan van limitálva. Míg a FWER-kontrollt legalább egy hibás következtetés esetén használjuk, addig a családra vonatkozó hibaarány-kontrollal esetén más a helyzet. Utóbbi nem kezeli az egyidejű többszörös tévkövetkeztetéseket súlyosabb esetként, mint az egy tévkövetkeztetést. A Bonferroni-korrekciónál gyakran úgy tartják, hogy pusztán csak a FWER-t kontrollálja, ám valójában a családra vonatkozó hibaarányra vonatkozóan is alkalmazható.