Feltételes függetlenség

A valószínűségszámításban a feltételes függetlenség az események, halmazrendszerek, valószínűségi változók függetlenségének általánosítása a feltételes valószínűség és feltételes várható érték segítségével. A feltételes függetlenséget felhasználják például valószínűségi változók felcserélhető családjainak definiálásához.

Definíció

Adva legyen az $(\mathrm{\Omega },\mathrm{\Sigma },P)$ valószínűségi mező, és a $\mathrm{\Sigma }$ eseménytéren egy ${𝒜}$ σ-algebra. Legyen $P(\cdot |{𝒜})$ az ${𝒜}$-ra vonatkozó feltételes valószínűség. A $\mathrm{\Sigma }$ $({{𝒜}}_i{)}_{i\in I}$ rész-σ-algebráinak egy $({{𝒜}}_i{)}_{i\in I}$ családja feltételesen független ${𝒜}$-tól, ha $I$ minden véges $J$ részhalmazára és tetszőleges $A_j\in {{𝒜}}_j$ választása esetén, minden $j\in J$-re teljesül, hogy

$P(\bigcap _{j\in J}{A}_j|{𝒜})=\prod _{j\in J}P(A_j|{𝒜})$.

A feltételes valószínűség tulajdonságai alapján az identitás P-majdnem biztos. Az $(X_i{)}_{i\in I}$ valószínűségi változók családja feltételesen független az ${𝒜}$-tól, ha az $(\sigma (X_i){)}_{i\in I}$ generált σ-algebrák feltételesen függetlenek ${𝒜}$-tól.

Megjegyzések és tulajdonságok

A független azonos eloszlás feltételes értelmezéséhez: Valószínűségi változók egy családja feltételesen független azonos eloszlású, hogyha a család feltételesen független ${𝒜}$-tól és az $P(\{X_i\in \cdot \}|{𝒜})$ feltételes eloszlások ugyanolyanok. Például ${𝒜}$ minden rész-σ-algebrája feltételesen független ${𝒜}$-tól, és σ-algebrák minden független családja függetken a triviális σ-algebrától.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013). ISBN 978-3-642-36017-6