Fogyasztáselmélet (mikroökonómia)

A fogyasztáselmélet a mikroökonómia egyik legfontosabb területe a termeléselmélet mellett. Azt vizsgálja, hogy a racionális egyének, illetve háztartások adott jövedelem és árak mellett milyen javakat fogyasztanak, hogyan osztják meg a fogyasztásukat jelen és jövő között, továbbá mennyi időt töltenek munkával és mennyit szabadidővel.

A fogyasztási döntés

Ahhoz, hogy az egyének, illetve háztartások fogyasztási döntéseit vizsgálhassa, a döntést befolyásoló tényezőket a fogyasztáselmélet két csoportba sorolja.

Az első csoportba azok a külső környezet által meghatározott tényezők tartoznak, amelyekről – itt – feltételezzük, hogy az egyén nem képes befolyásolni őket: a két legfontosabb a jövedelem és a javak ára; de ide tartoznak még az esetleges adók, támogatások, mennyiségi korlátozások is. Ezek a tényezők korlátot emelnek az egyén döntése elé.
A másik csoportot az egyén preferenciarendszere alkotja: ez a belső tényező, amely meghatározza, hogy két jószágkombináció (jószágkosár) közül az egyiket preferálja-e, azaz szívesebben fogyasztja, vagy pedig a két jószágkombináció egymással közömbös.

Hogy az egyén számára melyik(ek) a legjobb, az optimális jószágkombináció(k), a két tényezőcsoport együttesen fogja meghatározni. Egész pontosan az a jószágkombináció lesz optimális, amely a külső tényezők korlátjai mellett az egyén számára elérhetők közül a leginkább preferált. Egyszerűbben: az elérhetők közül a legjobb. Mivel pedig a mikroökonómia feltételezi, hogy az egyének (és a háztartások) racionális döntéshozók, megállapíthatjuk: a ténylegesen választott jószágkombináció egybe fog esni az optimálissal.

A fogyasztási döntés kétjószágos modellje

Ahhoz, hogy a döntést befolyásoló tényezőket, illetve a magát a döntést matematikai eszközökkel modellezni tudjuk, több egyszerűsítést is be kell vezetnünk. A legegyszerűbb modellben feltételezzük, hogy csak két jószág van, amivel kapcsolatban döntést kell hoznunk. Ebben az esetben a jószágkombinációkat ábrázolhatjuk egy derékszögű koordináta-rendszerben, amelynek egyik tengelye az 1. jószág, másik tengelye a 2. jószág mennyiségét reprezentálja. Ezt a koordináta-rendszert – pontosabban annak első síknegyedét, hiszen mindkét jószágot csak nemnegatív mennyiségben tudjuk értelmezni – jószágtérnek is nevezzük. A jószágtér minden pontja egy-egy jószágkombinációval egyenértékű.

Külső tényezők: a költségvetési korlát

A jövedelem és az árak

A legegyszerűbb esetben, ha külső tényezőként csak a pénzben kifejezett jövedelem (m), illetve a két jószág ára (p₁ és p₂) jelenik meg, az egyén számára elérhető, vagyis megfizethető (x₁, x₂) jószágkombinációk halmazára a következő egyenlőtlenség teljesül:

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} \leq m

Ezt az egyenlőtlenséget nevezzük a fogyasztó költségvetési korlátjának. Azon $x_{1}$ , és $x_{2}$ kombinációk halmazát, melyek teljesítik ezt az egyenletet, a fogyasztó költségvetési halmazának nevezzük. A költségvetési halmaz ebben az esetben háromszög alakú, és a két tengely, valamint az úgynevezett költségvetési egyenes határolja. Ez azokat a jószágkombinációkat tartalmazza, amelyek még éppen elérhetők, vagyis az egyén a teljes jövedelmét felhasználja a megvásárlásukra.
A költségvetési egyenes egyenlete tehát:

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} = m

Ezt átrendezve:

x_{2} = \frac{m}{p_{2}} - \frac{p_{1}}{p_{2}} x_{1}

Amiből látszik, hogy a függvénygörbe (költségvetési egyenes) az $x_{2}$ tengelyt az $\frac{m}{p_{2}}$ pontban, az $x_{1}$ tengelyt az $\frac{m}{p_{1}}$ pontban metszi, meredeksége pedig $- \frac{p_{1}}{p_{2}}$ . Utóbbinak az optimum megválasztásakor lesz jelentősége. Ha legalább az egyik jószágból érdemes minél többet fogyasztani, logikusnak tűnik az az állítás, hogy a racionális egyén minden jövedelmét elkölti, azaz a költségvetési korláton lévő jószágkombinációk közül választ. Ezt úgy is szokás mondani, hogy az egyén fogyasztására teljesül Walras törvénye. Ha viszont mindkét jószág káros jószág, akkor a fogyasztó még mindig jobban jár, ha marad elköltetlen jövedelme, mint hogyha számára „negatív hasznossággal” járó jószágkombinációt vásárolna. Így Walras törvénye nem teljesül ebben az esetben. A továbbiakban viszont mindkét jószágról feltételezzük, hogy hasznosak.

A költségvetési korlát jövedelemnövekedés hatására „kijjebb” tolódik, hiszen mind az $m / p_{2}$ , mind az $m / p_{1}$ zérushelyek értéke megnő, ráadásul azonos mértékben. Jövedelemcsökkenés következtében a költségvetési korlát „beljebb” tolódik (zérushelyek értéke csökken). Meredeksége azonban nem változik, hiszen a $- p_{1} / p_{2}$ tört értéke független a jövedelemtől, csak az áraktól függ. Ennek megfelelően a költségvetési halmaz nagyobb, illetve kisebb lesz.

Árváltozás esetén, tehát ha $p_{1}$ vagy $p_{2}$ értéke változik, akkor a költségvetési korlát egyik tengelymetszete ( $m / p_{2}$ , ill. $m / p_{1}$ ) változatlan marad, meredeksége viszont megváltozik. Abban az esetben, ha csak az egyik ár változik meg, akkor az árnövekedés mindig csökkenti, míg az árcsökkenés növeli a költségvetési halmaz területét.

Adók

A kivethető adókat a fogyasztáselmélet három csoportba sorolja.

Ha egy jószágot mennyiségi adó terhel, akkor a jószág minden egységének vásárlásakor egy meghatározott összeget kell adóként kifizetni. Speciális esetben ez az összeg változhat is a mennyiség függvényében, például előfordulhat, hogy bizonyos mennyiségig nem kell adót fizetni. Az 1. jószágra kivetett, egységesen t összegű mennyiségi adó hatására a költségvetési korlát egyenlete ilyen alakot ölt:

(p_{1} + t) \cdot x_{1} + p_{2} x_{2} = m

Úgy is mondhatjuk tehát, hogy a mennyiségi adó hatása ugyanolyan, mintha a jószág ára t pénzegységgel növekedne.

Az értékadó vagy ad valorem adó fogyasztáselméleti hatását tekintve megfeleltethető a mennyiségi adónak, csak itt a „pluszban” kifizetendő összeg a jószág árának százalékában van megadva. Ezt a százalékos arányt τ-val (tau) jelöljük. A módosult költségvetési korlát:

(1 + τ) \cdot p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} x_{2} = m

Az egyösszegű adó egy olyan konstans érték, amit mindenképpen meg kell fizetni, függetlenül attól, hogy a jószágból mekkora mennyiséget fogyasztunk. Ezért az egyösszegű adó (T) a jövedelmünket csökkenti. Matematikai formában:

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} = m - T

Támogatások

A támogatások mindegyike megfeleltethető az adófajtáknak, csak hatásuk azokéval ellentétes. A mennyiségi és az értékbeli támogatás (ismertebb nevén ártámogatás) a költségvetési korlát meredekségét változtatja meg – az árcsökkenéssel azonos módon –, míg az egyösszegű támogatás a felhasználható jövedelem növekedését eredményezi.

Mennyiségi korlátozások

Ilyesmik több okból is előfordulhatnak:

Az adott jószágból nagyon kevés áll rendelkezésre, olyannyira, hogy ha az összeset megvásároljuk, még akkor is marad jövedelmünk. Bizonyos luxuscikkek esetén gyakran előfordul ez az eset.
A hatóságok adminisztratív eszközökkel megakadályozzák, hogy az adott jószágból egy egyén vagy háztartás a megengedettnél többet vásároljon. A jegyrendszer, amit főként háborúk idején alkalmaznak, tipikus példa erre a fajta korlátozásra.

A mennyiségi korlátozás hatására a költségvetési korlát „megtörik”, a költségvetési halmaz pedig elveszti hagyományos háromszög alakját. Fontos megjegyezni, hogy az imént tárgyalt három külső tényező – adó, támogatás és mennyiségi korlátozás – természetesen megjelenhet együttesen is. (Elképzelhető mondjuk olyan jószág, amelyre bizonyos mennyiségig támogatás jár, azután adó terheli, egy meghatározott mennyiségen túl pedig már nem is szabad belőle vásárolni.)

Belső tényezők: a preferenciák

Nem beszéltünk még a fogyasztási döntéshez szükséges belső tényezők matematikai modelljéről. A preferenciákra vonatkozó bizonyos feltételeket elfogadva megállapíthatjuk, hogy bármely két jószágkombinációt kiválasztva, megmondható, hogy azok közömbösek-e egymáshoz képest, vagy ha nem, melyik jobb a kettő közül. Kézenfekvőnek tűnik, hogy a preferenciák matematikai modellezésekor ezekhez a jószágkombinációkhoz számokat rendeljünk. Definiáljuk az $U (x_{1}, x_{2})$ kétváltozós függvényt, amely minden (x₁, x₂) jószágkombinációhoz egy számértéket rendel úgy, hogy ha az egyik jószágkosár legalább olyan jó, mint a másik, akkor a hozzá tartozó U érték is legyen nagyobb vagy azonos. $U (x_{1}, x_{2})$ tehát egy kétváltozós hasznossági függvény. Nyilvánvaló, hogy ha kiválasztunk két konkrét U értéket, U₁-et és U₂-t, csak az a fontos számunkra, hogy egyenlőek-e, illetve melyik a nagyobb, az nem, hogy pontosan mennyivel. Így ha az $U (x_{1}, x_{2})$ függvény valamilyen preferenciarendezést ír le, akkor mondjuk a $2 \cdot U (x_{1}, x_{2})$ függvény is alkalmas ugyanennek a fogyasztói ízlésvilágnak a modellezésére. Általánosságban: ha f szigorúan monoton növekvő függvény, akkor $f (U)$ U-val azonos preferenciákat reprezentál. Ilyen monoton transzformációk például: konstans hozzáadása, pozitív konstanssal való szorzás, hatványozás, stb. Egyértelmű, hogy az U-t, mint kétváltozós függvényt, nem tudjuk ábrázolni a jószágtérben. Néhány különböző U értékhez tartozó szintvonalát viszont megrajzolhatjuk. Ezeket a szintvonalakat közömbösségi görbéknek hívjuk, mert a rajtuk lévő jószágkombinációkhoz tartozó U érték azonos, vagyis egymáshoz képest ezek a jószágkosarak közömbösek. A közömbösségi görbék meredekségét helyettesítési határaránynak nevezzük. (Jelölése az angol "marginal rate of substitution"-ből MRS.) Ez az arány – kicsit pontatlanul fogalmazva – azt mutatja meg, hogy mennyivel kell hogy változtassunk az 1. jószágból fogyasztott mennyiségen, ha a 2. jószágból eggyel többet kívánunk fogyasztani, de nem akarjuk, hogy változzon a hasznossági függvényünk értéke. Negatív meredekségű közömbösségi görbék esetén a helyettesítési határarány is negatív, azaz csak úgy tudunk valamelyik jószágból többet vásárolni, ha a másik jószágból lemondunk valamekkora mennyiségről. Ha az $U (x_{1}, x_{2})$ függvény x₁ szerinti parciális deriváltját (az 1. jószág határhasznát) $M U_{1}$ -gyel, x₂ szerinti parciális deriváltját (a 2. jószág határhasznát) pedig $M U_{2}$ -vel jelöljük, a helyettesítési határarányra – a differenciálszámítás szabályai szerint – az alábbi összefüggésnek kell teljesülnie:

MRS

= - \frac{M U_{1}}{M U_{2}}

Optimum

Optimális jószágkombinációnk a költségvetési halmaz azon pontjában vagy pontjaiban lesz, ahol a hasznossági függvény értéke, vagyis az U érték maximális. Sok speciális eset fordul elő, de – mint már említettük – többnyire ez a pont a költségvetési korláton található, és annak belső pontja. Ekkor pedig ez a pont az lesz, ahol a közömbösségi görbék egyike éppen érinti a költségvetési korlátot. Ugyanis ha metszéspontban volnánk, a költségvetési korláton „befelé” elmozdulva még magasabb U értékhez tartozó jószágkombinációkat találnánk. Az érintési pontban viszont a helyettesítési határarány (a közömbösségi görbe meredeksége) egyenlő a költségvetési korlát meredekségével:

MRS

= - \frac{p_{1}}{p_{2}}

Amiből:

\frac{M U_{1}}{M U_{2}} = \frac{p_{1}}{p_{2}}

Az eredmény nemcsak matematikai, hanem közgazdasági szempontból is érthető. Nyilvánvalónak tűnik, hogy ott találunk optimumot, ahol az 1. és 2. jószág egyéni értékelése (az $\frac{M U_{1}}{M U_{2}}$ arány) egyenlő a „piac általi” értékelésével – vagyis a $\frac{p_{1}}{p_{2}}$ aránnyal. Sőt, az egyenletet kis átrendezéssel ilyen alakra is hozhatjuk:

\frac{M U_{1}}{p_{1}} = \frac{M U_{2}}{p_{2}}

Ez pedig megfelel a „Gossen II. törvénye” néven ismert, híres közgazdasági összefüggésnek.

Az optimum megváltozása

Jövedelemváltozás hatására

A jövedelemváltozás a költségvetési korlát párhuzamos eltolásával (lásd fent) természetesen az optimum helyét is módosítja. Az ábrán látható esetben a jövedelemnövekedés hatására mindkét jószágból nőtt az optimális mennyiség. Ez azonban nem minden esetben van így; előfordulhat, hogy az egyik jószág esetében a fogyasztott mennyiség csökkenni fog. Azt a jószágot, amelynek a fogyasztása a jövedelem emelkedésekor növekszik, normál jószágnak, azt pedig, amelynek a mennyisége ilyen esetben csökken, inferior jószágnak nevezzük. A jövedelemnövekedéssel pontosan ellentétes következményekkel jár a jövedelemcsökkenés. Ha a különböző jövedelemszintek melletti optimális jószágkombinációkat összekötjük egymással, a két jószág úgynevezett jövedelem-fogyasztási vagy jövedelem-ajánlati görbéjét kapjuk eredményül.

Árváltozás hatására

A jövedelemváltozáshoz hasonlóan itt is csak az egyik esetet, mégpedig az 1. jószág árnövekedését vesszük szemügyre, a másik három – az 1. jószág árcsökkenése, továbbá a 2. jószág áremelkedése és -csökkenése – hasonló változásokat eredményez. Látnunk kell, hogy p₁ növekedése valójában kétféleképpen is hat a fogyasztásra:

Megnő a $- \frac{p_{1}}{p_{2}}$ hányados, vagyis a költségvetési korlát meredeksége. Ennek a fogyasztásra gyakorolt hatását helyettesítési hatásnak nevezzük.
Látszólag a jövedelmünk nem változik, valójában viszont a vásárlóereje csökken, hiszen kevesebb 1. jószágot vásárolhatunk belőle, mint korábban. Ennek következménye az úgynevezett jövedelmi hatás.

A helyettesítési és a jövedelmi hatás összege eredményezi az árváltozás teljes hatását a fogyasztásra. Ezt az összefüggést írja le a Slutsky-egyenlet. Ha a különböző árszintek melletti optimális jószágkombinációkat kötjük össze egymással, a két jószág ár-fogyasztási vagy ár-ajánlati görbéjét kapjuk meg; ha pedig egyetlen jószág optimális mennyiségét rendeljük a különböző árakhoz, az eredmény a jószág keresleti görbéje vagy keresleti függvénye lesz. Mikroökonómiai összefüggések segítségével levezethető, hogy árnövekedés esetén a helyettesítési hatás előjele mindig negatív (vagyis az optimális mennyiség csökkenését eredményezi), a jövedelmi hatás viszont lehet negatív és pozitív is, attól függően, hogy normál vagy inferior jószág árnövekedését vizsgáljuk. Így a teljes hatás előjele sem mondható meg egyértelműen; biztosan csak annyit tudunk, hogy normál jószág esetén mindkét hatás negatív, ezért a teljes hatás is az, vagyis normál jószág árnövekedése minden esetben a belőle fogyasztott mennyiség csökkenését eredményezi. Ez a kereslet törvénye.

Fogyasztási döntés indulókészlet mellett

Az eddigiekben feltettük, hogy a fogyasztási döntés előtt álló egyén rendelkezik valamilyen kiinduló jövedelemmel (m), amit javak vásárlására költhet. Megtörténhet azonban az is, hogy a fogyasztónak nincs jövedelme, hanem a javakból van valamilyen indulókészlete, amit aztán addig cserélgethet a környezetével, amíg el nem éri a számára optimális jószágkombinációt. Kétjószágos modellben a fogyasztó indulókészletét így jelölhetjük: $(ω_{1}; ω_{2})$ , ahol ω₁ (ómega) az 1. jószág, ω₂ a 2. jószág kiinduló mennyiségét jelenti. A költségvetési egyenes egyenlete ekkor ilyen lesz:

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} = p_{1} ω_{1} + p_{2} ω_{2}

Ekkor az x₁ és x₂ mennyiségeket az 1., illetve a 2. jószág bruttó keresletének nevezzük. Ezzel szemben $x_{1} - ω_{1}$ és $x_{2} - ω_{2}$ (vagyis a keresett mennyiségeknek a kiinduló mennyiségektől vett eltérése) az 1., illetve a 2. jószág nettó kereslete. (Ha $x_{1} - ω_{1}$ vagy $x_{2} - ω_{2}$ negatív, akkor nettó kínálatról is beszélhetünk.) A költségvetési egyenes egyenletét átrendezve kapjuk, hogy

p_{1} \cdot (x_{1} - ω_{1}) + p_{2} \cdot (x_{2} - ω_{2}) = 0 .

Vagyis a nettó keresleteknek a két jószág árával súlyozott összege 0-val egyenlő. Ez a gyakorlatban azt jelenti, hogy ha a fogyasztó az egyik jószágból a kiinduló mennyiségénél többet akar birtokolni (azaz az egyik jószág nettó vevője szeretne lenni), akkor a másikból mindenképpen el kell adnia valamennyit (tehát a másik jószág nettó eladója kell hogy legyen). Az optimum megkeresése, valamint a jövedelemváltozás indulókészlet mellett is hasonlóan történik, mint feljebb, csak a jövedelem (m) helyére mindig az indulókészlet értékét ( $p_{1} ω_{1} + p_{2} ω_{2}$ ) kell helyettesítenünk. Az árváltozásnál azonban fellép egy harmadik hatás is a helyettesítési és a jövedelmi hatás mellett: az úgynevezett készletjövedelmi hatás. Ez abból ered, hogy árváltozás esetén az indulókészlet értéke – és nemcsak a vásárlóereje – is meg fog változni, ami végső soron a költségvetési korlát és így az optimum eltolódását eredményezi. Az indulókészletes modell egyik legfontosabb alkalmazása a munkakínálat alapmodellje a munkagazdaságtanban.

Az intertemporális választás

A fogyasztással kapcsolatos döntéseket mindezidáig egy időpontban vizsgáltuk. A valóságban azonban senki sincs arra kötelezve, hogy minden jövedelmét azonnal elköltse; megteheti, hogy eltartalékolja, megtakarítja azt abból a célból, hogy ne a jelenben, hanem a jövőben „cserélje” fogyasztásra. Hasonlóképpen sokféle lehetőség kínálkozik arra, hogy a jelenbeli fogyasztás növelése érdekében kölcsönt vagy hitelt vegyünk fel, amit aztán a jövőbeli jövedelmünkből kell visszafizetnünk. Lehetőségünk van tehát arra, hogy – a jelen- és jövőbeli jövedelmeink által állított korlát figyelembevételével – válasszunk a jelen- és a jövőbeli fogyasztások között. Ezt hívjuk intertemporális választásnak. Tovább bonyolítja a helyzetet, hogy sem a hitel, sem a megtakarítás nem ingyenes. Ha megtakarítunk valamekkora pénzösszeget, azért a jövőben megkapjuk annak valahány százalékát, az úgynevezett betéti kamatot (a betéti kamatláb jele r_b). Ha hitelt veszünk fel, a jövőben a hitel összege mellett a hitelkamatot (a hitelkamatláb jele r_h) is vissza kell fizetnünk. A továbbiakban feltételezzük, hogy a megtakarítások és a hitelek piacán is kialakult az egyensúlyi ár, vagyis bármely bankhoz, befektetési vállalathoz stb. fordulunk, mindenhol ugyanazzal a betéti, illetve hitelkamatlábbal szembesülünk. Az intertemporális választás legegyszerűbb mikroökonómiai modelljében két időpont – vagy időszak –: a jelen és a jövő, és ennek megfelelően két összetett jószág: a jelenbeli fogyasztás (C₁) és a jövőbeli fogyasztás (C₂) szerepel; továbbá az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy $r_{b} = r_{h} = r$ , illetve hogy nincsen infláció. Az indulókészlet $(M_{1}; M_{2})$ , ahol M₁ a jelenbeli, M₂ pedig a jövőbeli jövedelem. A költségvetési egyenes egyenlete ebben az esetben kétféleképpen írható fel. Így:

C_{1} + \frac{C_{2}}{1 + r} = M_{1} + \frac{M_{2}}{1 + r}

Vagy pedig így:

(1 + r) \cdot C_{1} + C_{2} = (1 + r) \cdot M_{1} + M_{2}

Az elsőt a költségvetési egyenes jelenértékes, a másodikat pedig a jövőértékes egyenletének nevezzük. Látható, hogy az egyik egyenlet a másiknak $1 + r$ -szerese, tehát matematikai értelemben nem, csak szemléletükben különböznek egymástól. Bármelyik egyenletről leolvasható, hogy az intertemporális költségvetési egyenes meredeksége $- (1 + r)$ . Hasonlóan az eddigiekhez, itt is léteznie kell egy $U (C_{1}, C_{2})$ hasznossági függvénynek, amely a jelen- és jövőbeli fogyasztásból álló kombinációkhoz rendel egy-egy számot az intertemporális döntéshozó preferenciáinak megfelelően. Optimális döntés esetén

\frac{M U_{C_{1}}}{M U_{C_{2}}} = 1 + r .

Ha az optimum balra esik az indulókészlettől, akkor az intertemporális döntéshozó kölcsönnyújtó (mivel az első időszakban kevesebbet fogyaszt, mint a jövedelme), ha viszont jobbra, akkor kölcsönvevő.

A fogyasztási döntés általánosabb modellje

Az általánosabb modellben feltesszük, hogy nem kettő, hanem n darab jószág van, amelyek optimális mennyiségéről a fogyasztónak döntést kell hoznia. A választható jószágkosarak ekkor az n dimenziós térben, $ℝ^{n}$ -ben található, nemnegatív koordinátájú vektorokként foghatók fel: $x = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ , ahol x₁ értelemszerűen az első, x₂ a második jószágból fogyasztott mennyiséget reprezentálja, és így tovább. Hasonlóképpen vektorba rendezhetők a javak árai: $p = (p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n})$ . Az árakat és a jövedelmet (m) természetesen továbbra is külső adottságnak tekintjük, amelyeket a fogyasztó nem képes befolyásolni. Tegyük fel még, hogy nincsenek adók, támogatások és mennyiségi korlátozások. Ekkor a fogyasztó költségvetési korlátja a következőképpen írható fel:

p_{1} x_{1} + p_{2} x_{2} + \dots + p_{n} x_{n} \leq m

Vagy, a skaláris szorzat definíciójának felhasználásával:

p \cdot x \leq m

A költségvetési korlátot leíró egyenlőtlenségből látható, hogy a költségvetési egyenes azon jószágmennyiség-vektorokból áll, amelyeknek az árvektorral vett skalárszorzata éppen m, vagyis olyan n‒1 dimenziós hipersíkot alkot $ℝ^{n}$ -ben, amelynek a normálvektora $p$ .

A haszonmaximalizálási feladat és megoldása

A fogyasztó haszonmaximalizálási feladata a következő feltételes szélsőérték-feladat lesz:

\begin{matrix} \max U (x) \\ p \cdot x \leq m \\ x \geq 0 \end{matrix}

Elsőként tegyük fel, hogy egy, az utolsónál szigorúbb feltétel is teljesül: $x ≫ 0$ , vagyis úgynevezett belső megoldással állunk szemben. Ekkor a feladat $x^{*}$ megoldását – feltéve, hogy U differenciálható függvény – a Kuhn-Tucker feltételek szerint a következő egyenletrendszer gyökei fogják szolgáltatni ( $M U_{i}$ továbbra is a hasznossági függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltját jelöli):

\begin{matrix} M U_{1} (x^{*}) - λ p_{1} = 0 \\ M U_{2} (x^{*}) - λ p_{2} = 0 \\ ⋮ \\ M U_{n} (x^{*}) - λ p_{n} = 0 \\ p \cdot x^{*} - m = 0 \end{matrix}

A határhasznokra vonatkozó egyenletek másként, vektoregyenlet alakban:

\nabla U (x^{*}) - λ p = 0

,

ahol $\nabla U (x)$ a hasznossági függvény gradiense (a függvény parciális deriváltjaiból álló vektor). Átrendezve:

\nabla U (x^{*}) = λ p

,

vagyis ott találunk optimumot, ahol a hasznossági függvény gradiensvektora párhuzamos a költségvetési korlát normálvektorával. Ez az állítás a kétjószágos modellben megismert érintési feltétel általánosításának tekinthető. Az előbbi feltétel szükséges, de nem elégséges a belső optimum létezéséhez. Vannak bizonyos másodrendű feltételek is, amelyek a hasznossági függvény kvázikonkavitásával kapcsolatosak. Az elsőrendű feltételt kielégítő $x^{*}$ megoldásvektor pontosan akkor lokális maximumhely, ha a hasznossági függvény $x^{*}$ -ban kvázikonkáv. Ha pedig U értelmezési tartományának egészén kvázikonkáv, akkor az elsőrendű feltételt kielégítő $x^{*}$ globálisan is maximumhely, vagyis a haszonmaximalizálási feladat megoldása. Ha a fenti egyenletek mindegyikéből kifejezzük $λ$ -t, ezúttal is Gossen II. törvényét kapjuk:

λ = \frac{M U_{1} (x^{*})}{p_{1}} = \frac{M U_{2} (x^{*})}{p_{2}} = \dots = \frac{M U_{n} (x^{*})}{p_{n}}

Ha a haszonmaximalizálási feladat $x^{*}$ megoldása nem belső megoldás, vagyis van legalább egy olyan jószág, amiből a fogyasztó semennyit sem fogyaszt az optimumban (ez valószerű feltevés), akkor az egyenletrendszer a Kuhn–Tucker-féle korlátozó feltételeknek megfelelően következőképpen módosul:

\nabla U (x^{*}) - λ p \leq 0

,

és azokra a javakra, amelyekre $x_{i}^{*} > 0$ , tehát amelyekből az optimális fogyasztás pozitív,

M U_{i} (x^{*}) - λ p_{i} = 0

.

A megoldás létezése és egyértelműsége

Ha a javak árai kivétel nélkül pozitívak, azaz $p ≫ 0$ , továbbá a jövedelem nemnegatív, akkor a fogyasztó által választható (tehát nemnegatív és a költségvetési korlátot kielégítő) jószágkosarak halmaza, amit korábban költségvetési halmaznak neveztünk, nemüres, zárt és korlátos. Ekkor a hasznossági függvény folytonossága esetén a Weierstrass-tétel biztosítja, hogy a haszonmaximalizálási feladatnak minden, a feltételnek megfelelő árvektor és jövedelem mellett létezik megoldása. Definiálható tehát egy leképezés, amely valamely árvektor–jövedelem kombinációhoz az ezek mellett optimális jószágkosarak halmazát rendeli. Ezt a leképezést (marshalli vagy walrasi) keresleti leképezésnek nevezhetjük és a következőképpen jelöljük: $x (p, m)$ . Ha a megoldás létezését biztosító feltételeken kívül teljesül még, hogy a fogyasztó preferenciái konvexek (vagy, ami ezzel egyenértékű: a hasznossági függvény kvázikonkáv), akkor az $x (p, m)$ halmaz minden $(p, m)$ -re konvex. Ha pedig a preferenciák szigorúan konvexek (a hasznossági függvény szigorúan kvázikonkáv), akkor az $x (p, m)$ halmaz minden árvektor–jövedelem kombinációra egyelemű, vagyis a leképezés egyértelmű: $x (p, m)$ egy $ℝ^{n + 1}$ -ből $ℝ^{n}$ -be képező függvény, amit keresleti függvénynek nevezhetünk (ráadásul belátható, hogy ez a függvény folytonos). A továbbiakban minden esetben feltételezzük, hogy fennállnak a keresleti függvény létezéséhez szükséges feltételek.

A keresleti függvény tulajdonságai

Igazolható, hogy a haszonmaximalizálási feladat megoldásaként adódó keresleti függvény minden esetben teljesíti az alábbi tulajdonságokat:

$p \cdot x (p, m) = m$ (Walras-törvénye), a preferenciák lokális telíthetetlensége, ill. monotonitása következményeként.
Minden pozitív t valós számra $x (t p, t m) = x (p, m)$ , vagyis a keresleti függvény nulladfokon homogén.
Jelölje a keresleti függvény i-edik koordinátafüggvényét (vagyis az i-edik jószág keresletét az árak és a jövedelem függvényében) $x_{i} (p, m)$ . Ekkor az $s_{i, j} = \frac{\partial x_{i} (p, m)}{\partial p_{j}} + \frac{\partial x_{i} (p, m)}{\partial m} \cdot x_{j} (p, m)$ elemekből álló n×n-es mátrix, az úgynevezett helyettesítési mátrix vagy Slutsky-mátrix szimmetrikus, negatív szemidefinit, és nem teljes rangú.

Az eddig leírtaknál erősebb állítás is megfogalmazható: ha egy $x (p, m)$ függvényre teljesül a fenti három tulajdonság, akkor létezik olyan preferenciarendszer (hasznossági függvény), amelynek $x (p, m)$ a keresleti függvénye.

Az indirekt hasznossági függvény

Az indirekt hasznossági függvény a haszonmaximalizálási feladat értékfüggvénye, vagyis minden árvektor–jövedelem kombinációhoz az ezek mellett optimális jószágkombináció(k) hasznosságát rendeli:

v (p, m) = U (x (p, m))

Az indirekt hasznossági függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

Nulladfokon homogén: minden pozitív valós t-re $v (t p, t m) = v (p, m)$ .
Nemnövekvő az árakban: $p^{'} \geq p$ esetén $v (p^{'}, m) \leq v (p, m)$ .
Szigorúan növekvő a jövedelemben: ha $m^{'} > m$ , akkor $v (p, m^{'}) > v (p, m)$ .
Kvázikonvex.
Folytonos.

A Roy-azonosság az indirekt hasznossági függvény definíciójával ellentétes irányú kapcsolatot teremt az indirekt hasznossági függvény és a keresleti függvény között. Kimondja, hogy $v (p, m)$ differenciálhatósága esetén minden i-re

x_{i} (p, m) = - \frac{\frac{\partial v (p, m)}{\partial p_{i}}}{\frac{\partial v (p, m)}{\partial m}}

.

Források

Varian, H. R. (2005), Mikroökonómia középfokon, Akadémiai Kiadó, ISBN 963-05-8308-9
Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; Green, Jerry (1995): Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1