Forgásfelület

Az x=2+cos z görbe egy szakasza a z tengely körül megforgatva.

A forgásfelület egy olyan felület, ami egy síkgörbe (ez a vezérgörbe) egy, a görbe síkjába eső egyenes (ez a forgástengely) körül való megforgatásával áll elő.

• Ha a vezérgörbe egy, a forgástengellyel párhuzamos egyenes, akkor hengerpalástot kaphatunk.
• Ha az egyenes vezérgörbe általános helyzetű, kúpfelület jön létre.
• Ha kört forgatunk meg egy átmérője körül, akkor gömbfelületet kapunk.
• Ha a kört egy síkjába eső, de rajta kívül húzódó tengely körül forgatjuk meg, akkor tóruszfelületet kapunk.
• Ha ellipszist forgatunk meg egyik tengelye körül, szferoidot kapunk.

Ha a görbe az $x(t)$, $y(t)$ parametrikus függvényekkel van megadva, ahol a $t$ egy $[a,b]$ intervallumon értelmezett, és a forgástengely az $y$ koordinátatengely, akkor az $A$ területet a következő integrállal adhatjuk meg (feltéve ha $x(t)$ sehol sem negatív):

$$\begin{gathered} A=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}x(t) \\ \sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt \end{gathered}$$

Pappus–Guldin tétel

Az egyik Pappus–Guldin tétel kimondja, hogy a forgásfelület felszine egyenlő a vezérgörbe hosszának és a vezérgörbe súlypontja útjának szorzatával:

$A=s.r_s.\alpha$

Itt

$r_s$ a vezérgörbe súlypontjának távolsága a tengelytől,

$\alpha$ a megforgatás szöge.