Gamma-eloszlás

Az X valószínűségi változó p-edrendű λ paraméterű gamma-eloszlást követ – vagy rövidebben gamma-eloszlású – pontosan, ha sűrűségfüggvénye

$f(x)=\frac{{\lambda }^p{x}^{p-1}{e}^{-\lambda x}}{\mathrm{\Gamma }(p)},$

ahol Γ(p) a gamma-függvény, λ és p pedig pozitív. Speciálisan, ha p = n/2 és λ = 1/2, akkor X-et n szabadsági fokú χ²-eloszlásúnak nevezzük, valamint az elsőrendű (p = 1) λ paraméterű gamma-eloszlás azonos a λ paraméterű exponenciális eloszlással.

A gamma-eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye Karakterisztikus függvénye

$\phi (t)={(1-\frac{it}{\lambda })}^{-p}$

A gamma-eloszlást jellemző számok

Várható értéke

$\mathbf{E}(X)=\frac{p}{\lambda }$

Szórása

$\mathbf{D}(X)=\frac{\sqrt{p}}{\lambda }$

Momentumai

$\mathbf{E}(X^k)=\frac{\mathrm{\Gamma }(p+k)}{\mathrm{\Gamma }(p){\lambda }^k}$

Ferdesége

${\beta }_1(X)=\frac{2}{\sqrt{p}}$

Lapultsága

${\beta }_2(X)=\frac{6}{p}$

Gamma-eloszlású valószínűségi változók néhány fontosabb tulajdonsága

• Gamma-eloszlású független valószínűségi változók összege is gamma-eloszlású. Pontosabban ha X₁ p₁-edrendű és X₂ p₂-edrendű gamma-eloszlású független valószínűségi változók λ paraméterrel, akkor X₁ + X₂ p₁ + p₂-edrendű gamma-eloszlású valószínűségi változó λ paraméterrel.
• Exponenciális eloszlású független valószínűségi változók összege gamma-eloszlású. Pontosabban ha X₁, X₂, … X_n független, λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változók, akkor X₁ + X₂ + … + X_n n rendű, λ paraméterű Γ-eloszlású valószínűségi változó.

Megjegyzés

Szokták a gamma-eloszlást Γ-eloszlásnak is írni.

További információk

• Interaktív Java szimuláció a gamma-eloszlásról és a Poisson-folyamatról. Archiválva 2012. november 13-i dátummal a Wayback Machine-ben Szerzők: Kyle Siegrist és Dawn Duehring

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Arató M. (2001): Nem-élet biztosítás matematika. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest.