Generátorrendszer (lineáris algebra)

A lineáris algebrában egy vektortér generátorrendszere egy olyan részhalmaz, aminek elemeinek lineáris kombinációjaként bármely vektor kifejezhető. Duális fogalma a lineárisan független rendszer. A vektortér bázisa egy minimális generátorrendszer (és egyben maximális lineárisan független rendszer). Egy vektortér végesen generált, ha van véges generátorrendszere.

Definíció

Az a₁,…,a_n ∈ V vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az a_i vektorok lineáris kombinációjaként.

Példák

• minden bázis egyben egy generátorrendszer is,
• maga a V vektortér is generátorrendszer,

Koordinátatér

Az euklidészi sík standard bázisvektorai

Két különböző generátorrendszer: a $v$ vektor kifejezhető úgy, mint$v=x{e}_1+y{e}_2$ és úgy is, mint $v=f_1+f_2$

Egy valós $V={\mathbb{ℝ}}^n$ vektortér egy generátorrendszere a standard bázisvektorokból áll:

$e_1=(1,0,0,\dots ,0),e_2=(0,1,0,\dots ,0),\dots ,e_n=(0,0,0,\dots ,1)$.

Valójában, minden $v=(v_1,\dots ,v_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$ vektor előáll, mint:

$v=v_1{e}_1+v_2{e}_2+\cdots +v_n{e}_n$,

ahol $v_1,\dots ,v_n\in \mathbb{ℝ}$ ezeknek a vektoroknak a lineáris kombinációját jelenti. További generátorrendszerek előállíthatók felesleges vektorok hozzávételével. Vannak azonban olyan generátorrendszerek, amelyek nem tartalmazzák az $e_1,\dots ,e_n$ vektorokat. Például

$f_1=(-1,1,0,\dots ,0),f_2=(0,-1,1,\dots ,0),\dots ,f_n=(0,0,0,\dots ,-1)$

szintén ${\mathbb{ℝ}}^n$ generátorrendszere, amivel minden $v=(v_1,\dots ,v_n)\in {\mathbb{ℝ}}^n$ kifejezhető, mint:

$v=(-v_1)f_1+(-v_1-v_2)f_2+\cdots +(-v_1-v_2-\cdots -v_n)f_n$

Polinomterek

Az $\mathbb{ℝ}[x]$ egy nem végesen generált vektortér, ami az $x$ szerint egyváltozós valós polinomok halmaza. Egy generátorrendszere a monomokból áll:

$E=\{1,x,x^2,\dots ,x^k,\dots \}$.

Ez egy generátorrendszer, mivel minden $n$-edfokú polinom előáll, mint:

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$,

azaz monomok véges lineáris kombinációja. Itt is vannak más generátorrendszerek, például a Legendre-polinomok, vagy a Csebisev-polinomok. De bebizonyítható, hogy véges generátorrendszer nem létezhet.

Sorozatterek

Szintén nem végesen generált az $\omega$ sorozattér, melyet a valós $(a_0,a_1,a_2,\dots )$ valós sorozatok alkotnak, azaz $a_i\in \mathbb{ℝ}$, ahol $i\in \mathbb{\mathbb{N}}$. A nyilvánvaló választás:

$e_0=(1,0,0,\dots ),e_1=(0,1,0,\dots ),e_2=(0,0,1,\dots ),\dots$

nem generátorrendszer, hiszen nem áll elő minden sorozat véges lineáris kombinációként; csak azok, ahol véges sok tag különbözik nullától. Az $\omega$ térnek nincs megszámlálható generátorrendszere; minden generátorrendszere nem megszámlálható végtelen elemet tartalmaz.

Nullvektortér

A $\{0\}$ nullvektortér, ami a $0$ vektorból áll, két generátorremndszerrel is generálható:

$E=\mathrm{\varnothing }$   és   $E=\{0\}$.

Az üres halmaz azért generátorrendszer, mivel a vektorok üres összege a nullvektor.

Tulajdonságok

Ha a generátorrendszert további V-beli vektorokkal bővítjük, akkor ismét generátorrendszert kapunk (azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak). Egy $E\subseteq V$ generátorrendszer minimális, ha nincs $e\in E$, hogy $E\setminus \{e\}$ szintén generátorrendszere $V$-nek. A minimális generátorrendszereket bázisnak nevezzük.

• Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.

Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a Zorn-lemmát vagy a kiválasztási axióma valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni. Egy $E$ bázis lineárisan független vektorokból áll. Ha ugyanis egy $e\in E$ lineárisan függne a többi elemtől, akkor behelyettesítéssel minden $v\in V$ vektor előállna $E\setminus \{e\}$ lineáris kombinációjaként; tehát $E$ nem lenne minimális, így bázis sem.

Generált alterek

Tetszőleges $E\subseteq V$ esetén tekinthetjük az $E$ által generált $W\subseteq V$ alteret. Ennek konstrukciójára két lehetőség adódik: Az egyik lehetőség az, hogy vesszük az $E$-t tartalmazó alterek metszetét. Ez szintén altér lesz $V$-ben, hiszen alterek metszete. Ez az altér halmazelméletileg a legkisebb, ami $E$-t tartalmazza. A második módszer szerint tekintjük az $E$-ből képezett összes lineáris kombinációját. Ez a halmaz az $E$ lineáris burka, amit $⟨E⟩$ jelöl. Így a $W$ altér éppen az $E$ által generált altér. Tehát $E$ generátorrendszere $W$-nek.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK, 2. fejezet (Vektorterek, lineáris leképezések és mátrixaik)
• Heinz Bauer. Maß- und Integrationstheorie, 2., überarbeitete, Berlin (u. a.): de Gruyter (1992. április 28.) 
• Gerd Fischer. Lineare Algebra, 15., verbesserte, Wiesbaden: Vieweg (2005. április 28.) 
• Kurt Meyberg. Algebra. Bd. 1. München [u. a.]: Carl Hanser Verlag (1975. április 28.) 
• Christian Karpfinger - Kurt Meyberg. Algebra. Gruppen - Ringe - Körper, 2., Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag (2010. április 28.) 
• Horst Schubert. Topologie. Eine Einführung, 4., Stuttgart: B. G. Teubner Verlag (1975. április 28.) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Erzeugendensystem című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Lineáris algebra
• Lineáris függetlenség
• Lineáris leképezés
• Vektortér