Lineáris burok

Egy $a$ vektor és lineáris burka, $\mathrm{span}(a)$

A lineáris algebrában egy vektortér részhalmazának lineáris burka, más néven lineáris lezártja, generált vektortere azokból a vektorokból áll, amelyek előállnak a részhalmaz elemeinek, mint vektoroknak lineáris kombinációjaként, a vektortér alaptestének elemeivel, mint együtthatókkal. A lineáris burok altér, mégpedig a legkisebb altér, ami a halmaz minden elemét tartalmazza.

Definíció

A kék sík a $v_1$ és $v_2$ veltorok lineáris burka. ($v$ a két vektor lineáris kombinációja)

Konstruktív definíció

Legyen $V$ vektortér a $K$ test fölött, és $A\subset V$ részhalmaza a $V$ vektortérnek! Ekkor $A$ lineáris burka:

$⟨A⟩=\{\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i|{\lambda }_i\in K,a_i\in A,n\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$

A lineáris burok $a_i$ elemeinek összes lineáris kombinációja. Ha $A$ véges, akkor a definíció a következőre egyszerűsödik:

$⟨\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}⟩=\{{\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+\cdots +{\lambda }_n{a}_n\mid {\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n\in K\}$.

Az üres halmaz lineáris burka a nullvektortér, vagyis

$\mathrm{span}(\mathrm{\varnothing })=\{0\}$,

mivel vektorok üres összege definíció szerint a nullvektor.

További definíciók

A konstruktív definícióval ekvivalens definíciók:

• Egy $V$ vektortér $A$ részhalmazának lineáris burka a legkisebb vektortér, ami tartalmazza az $A$ halmazt
• Egy $V$ vektortér $A$ részhalmazának lineáris burka az a vektortér, ami előáll az $A$ halmazt tartalmazó alterek metszeteként

Jelölés

Egy $A$ halmaz lineáris burkának jelölése $\mathrm{span}(A)$, vagy $\mathrm{span}[a_1,a_2,\dots ,a_n]$, ha $A$ véges.

Tulajdonságok

Legyenek $A$ és $B$ részhalmazok a $K$ test fölötti $V$ vektortérben; ekkor:

• $A\subseteq \mathrm{span}(A)$
• $A\subseteq B\Rightarrow \mathrm{span}(A)\subseteq \mathrm{span}(B)$
• $\mathrm{span}(A)=\mathrm{span}(\mathrm{span}(A))$

Mivel ezek a tulajdonságok teljesülnek, azért a lineáris burokképzés burokoperátor. Teljesülnek továbbá:

• Egy $V$ vektortér részhalmazának lineáris burka altere $V$-nek
• Egy $V$ vektortér $U$ alterének lineáris burka $U$
• Vektorok egy halmaza lineáris burkának generátorrendszere. Ha vektorok egy halmaza generál egy alteret, akkor a vektorhalmaz lineáris burka az altér.
• Két altér, $U_1,U_2$ összege, $U_1+U_2=\{u_1+u_2\mid u_1\in U_1,u_2\in U_2\}$ uniójuk lineáris burka. Tehát $U_1+U_2=\mathrm{span}(U_1\cup U_2)$
• Legyen egy vektortér altereinek halmaza $T$; ekkor bevezethető egy kétaritású művelet, ami veszi az operandusok uniójának lineáris burkát. Ennek a duális művelete a metszetképzés. Ezekkel a műveletekket $T$ háló.
• Ha $U,V$ ugyanannak a térnek az altere, akkor a lineáris burokra teljesül a dimenziótétel:

$\dim (U+V)+\dim (U\cap V)=\dim U+\dim V$.

Példák

• Egyetlen $a\in {\mathbb{ℝ}}^2\setminus \{(0,0)\}$ vektor $\mathrm{span}(a)$ lineáris burka egy origón áthaladó egyenes
• A $(3,0,0)$ és a $(0,2,0)$ vektorok az ${\mathbb{ℝ}}^3$ vektortérnek. Lineáris burkuk $\mathrm{span}((3,0,0),(0,2,0))$ éppen az $x$-$y$ sík.
• Legyen $K[[X]]=\{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{X}^k|({\lambda }_k{)}_{k\in {\mathbb{\mathbb{N}}}_0}\in K^{{\mathbb{\mathbb{N}}}_0}\}$ a formális hatványsorok vektortere a $K$ test fölött, és legyen $A=\{X^k\mid k\in \mathbb{\mathbb{N}}\}$ a monomok halmaza. Ekkor $A$ lineáris burka a polinomok halmaza:

  $\mathrm{span}(A)=\{\sum _{i=0}^n{\lambda }_i{X}^i|n\in \mathbb{\mathbb{N}},{\lambda }_0,\dots ,{\lambda }_n\in K\}=K[X]$.

Forrás

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik). 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 978-3-8348-0996-4, 384 Seiten.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lineare Hülle című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.