Lineáris altér

A lineáris altér a matematika, közelebbről a lineáris algebra egyik fontos fogalma. Egy vektortér, mint struktúra bizonyos tulajdonságokkal ellátott részhalmazára akkor mondjuk, hogy lineáris altér a vektortérben, ha teljesíti az ugyanazon vektor- illetve skalárral való szorzás műveleti zártságának követelményét; azaz a másik altérben definiált összeadás és szorzás nem vezet ki belőle. Minden lineáris altér generálható a kiindulási tér néhány lineárisan független vektorával. Két altér összege és metszete szintén lineáris altér, melyek dimenziója a dimenzióképlettel számítható. Minden lineáris altérnek van kiegészítő altere, mellyel vett direkt összege a kiindulási vektorteret adja. Minden altérhez rendelhető faktortér, ami úgy keletkezik, hogy az eredeti tér vektorait az altér mentén párhuzamosan vetítjük. A lineáris algebrában az altereket arra használják, hogy jellemezzék lineáris leképezések mag- és képterét, lineáris egyenletek megoldáshalmazát és sajátértékproblémák sajáttereit. A funkcionálanalízisben Hilbert-terek, Banach-terek altereit és duális tereket vizsgálnak. Az alterek sokoldalú alkalmazásokkal bírnak, mint például nagy lineáris és differenciál-egyenletrendszerek numerikus megoldása, optimalizálásban, kódoláselméletben és jelfeldolgozásban.

Definíció

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W $\in$ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.

Tulajdonságok

Tétel

Egy F test feletti V vektortérben egy W nemüres részhalmaz akkor és csak akkor altér, ha

1. $\mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$ és
2. $\mathbf{v}\in W,\lambda \in F\Rightarrow \lambda \mathbf{v}\in W$

Bizonyítás

Ha W altér, akkor 1. és 2. feltételek teljesülnek, mivel ezek pontosan azt jelentik, hogy a V vektortér műveleteinek a megszorításai a W halmazon is műveletek.

Megfordítva, csak azt kell igazolni, hogy W-ben létezik nullelem és minden elemnek létezik inverze. Legyen v ∈ W tetszőleges, 2. miatt 0 = 0v ∈ W nullelem, és -v = (-1)v ∈ W inverz. Tehát W az összeadásra csoportot alkot, így részcsoport V-ben, tehát W is Abel-csoport. Ezzel W is vektortér.

W altér nulleleme megegyezik a V vektortér nullelemével.

Példák

Konkrét példák

Az $(x,y)$ alakú vektorok, melyekre $x=y$ teljesül, alteret alkotnak az euklideszi síkban

A $V={\mathbb{ℝ}}^2$ tér vektortér a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra. Legyen továbbá $U$ azoknak az $(x,y)$ vektoroknak a halmaza, melyekre igaz, hogy $x=y$! Ekkor $U$ altere a $V$ vektortérnek, mivel minden $a,b,c\in \mathbb{ℝ}$ esetén:

• $(0,0)$ benne van $U$-ban,
• $(a,a)+(b,b)=(a+b,a+b)\in U$
• $c\cdot (a,a)=(c\cdot a,c\cdot a)\in U$

Egy további példaként tekintsük az $\mathbb{ℝ}$ fölött definiált $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ valós függvények vektorterét! Ez a szokásos összeadással és skalárral szorzással vektorteret alkot. Ebben a vektortérben a $f(x)=ax+b$ lineáris függvények alteret alkotnak, hiszen minden $a,b,c,d\in \mathbb{ℝ}$ esetén:

• az $x\mapsto 0x+0$ nullfüggvény benne van
• $f(x)+g(x)=(ax+b)+(cx+d)=(a+c)x+(b+d)$, így $f+g\in U$
• $c\cdot f(x)=c\cdot (ax+b)=(c\cdot a)x+(c\cdot b)$, tehát $c\cdot f\in U$

Általánosabb példák

• bármely vektortérben triviális alterek: az egész tér, és csak a 0 vektorból álló altér,
• a valós számok, mint valós számok fölötti vektortérben az összes altér az egész tér és csak a 0 vektorból álló altér,
• a valós számok fölötti komplex $\mathbb{ℂ}$ vektortérben a valós számok $\mathbb{ℝ}$ halmaza és a tisztán képzetes számok halmaza, $i\mathbb{ℝ}$ alterek;
• az ${\mathbb{ℝ}}^2$ euklideszi sík vektortérben az origón átmenő egyenesek alterek,
• az ${\mathbb{ℝ}}^3$ euklideszi tér vektortérben az origón átmenő egyenesek és síkok alterek,
• a háromdimenziós ${\mathbb{𝔼}}^3$-ban kétdimenziós altér egy tetszőleges origón keresztülhaladó sík,
• bármely vektortérben egy tetszőleges, de rögzített vektor összes skalárszorosai mindig alteret alkotnak,
• tetszőleges lineáris transzformáció magtere és képtere altér az adott vektortérben,
• a polinomok vektorterében a legfeljebb $k$-adfokú polinomok vektorteret alkotnak bármely rögzített $k\ge 0$ természetes számra,
• a négyzetes mátrixok vektorterében a szimmetrikus és az antiszimmetrikus mátrixok alterek,
• az egy adott intervallumon értelmezett valós értékű függvények vektorterében az integrálható függvények, a folytonos függvények és a differenciálható függvények alterek,
• két, ugyanazon test fölötti vektortér közötti leképezések vektorterében a lineáris leképezések alteret alkotnak.

Generált altér

Egy $a$ vektor $⟨a⟩$ lineáris burka az euklideszi síkban

Az a₁, …, a_n ∈ V vektorok által generált altéren az a_i vektorok összes lineáris kombinációinak a halmazát értjük, és ezt〈a₁, …, a_n〉-nel jelöljük,

$⟨{\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n⟩=\{{\lambda }_1{\mathbf{a}}_1+...+{\lambda }_n{\mathbf{a}}_n|{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in \mathbf{F}\}.$

Általában, egy V vektortér tetszőleges, véges vagy végtelen, A nemüres részhalmaza által generált〈A〉altéren, a részhalmaz vektoraival minden lehetséges módon képzett összes, véges, de tetszőlegesen hosszú, lineáris kombinációt értjük. Néha ezt a halmazt lineáris buroknak is nevezik.
Igazolható a következő állítás is

Tétel

U =〈a₁, …, a_n〉az a_i vektorokat tartalmazó legszűkebb altér V-ben, azaz

1. $U\le V$
2. ${\mathbf{a}}_i\in U,i=1,\dots ,n$
3. $$\begin{gathered} \mathrm{h}\mathrm{a} \\ W\le V \\ \wedge \\ {\mathbf{a}}_i\in W, \\ i=1,\dots ,n \\ \Rightarrow \\ U\subseteq W \end{gathered}$$

Megfordítva, minden altérhez található generátorrendszer, vagyis egy $X$ halmaz, ami generálja az alteret. Egy minimális generátorrendszer lineárisan független elemekből áll, és bázisnak nevezik. Egy bázis számossága megadja a vektortér dimenzióját.

Műveletek alterekkel

Metszet és unió

Legyenek $U_1,U_2$ alterek ugyanabban a $V$ vektortérben! Ekkor az

$U_1\cap U_2=\{v\in V\mid v\in U_1\text{ és }v\in U_2\}$

halmaz szintén altér a $V$ vektortérben. Ellenben a két vektortér uniója:

$U_1\cup U_2=\{v\in V\mid v\in U_1\text{ vagy }v\in U_2\}$

akkor és csak akkor altér, ha $U_1\subseteq U_2$ vagy $U_2\subseteq U_1$. Különben bár egy skalárral szorzásra zárt halmazt kapunk, melyből kivezet a vektorok összeadása.

Két altér által generált altér

Ha W és Z alterek a V vektortérben, akkor a W és Z által generált altérnek a

$⟨W,Z⟩=\{\mathbf{w}+\mathbf{z}|\mathbf{w}\in W,\mathbf{z}\in Z\}$

alteret nevezzük. Ez ugyanaz az altér, amit a két vektortér, mint halmaz uniója generál. Ha a W és Z alterek dimenziója véges, akkor a generált altér dimenziója kiszámítható a dimenziótétellel:

$\dim (W+Z)=\dim W+\dim Z-\dim (W\cap Z)$,

amiből visszafelé olvasva a metszet altér dimenziója is kiszámítható. Véges dimenziós vektorterek metszet- és összegbázisa kiszámítható a Zassenhaus-algoritmussal. Ha W ∩ Z = 0, akkor a〈W,Z〉alteret a W és Z (belső) direkt összegének nevezzük, és a következőképpen

$W\oplus Z$

jelöljük. (A belső direkt összeg izomorf a külső direkt összeggel.) A jóldefiniáltságot az adja, hogy a〈W,Z〉altér elemeinek w+z alakban történő felírása, w ∈ W, z ∈ Z, akkor és csak akkor egyértelmű, ha W ∩ Z = 0, ugyanis
Ha W ∩ Z = 0, és egy a ∈〈W,Z〉vektorra fennáll a

$\mathbf{a}={\mathbf{w}}_1+{\mathbf{z}}_1={\mathbf{w}}_2+{\mathbf{z}}_2$

egyenlőség, akkor átrendezés után kapjuk, hogy w₁ – w₂ = z₁ – z₂. Ez utóbbi bal oldalán W-beli, jobb oldalán Z-beli vektor áll, így szükségképpen w₁=w₂, z₁=z₂.
Megfordítva, tegyük fel, hogy x ≠ 0 ∈ W ∩ Z-nek. Ekkor x = x + 0 = 0 + x két különböző előállítást ad, ez ellentmondás, tehát W ∩ Z = 0. Mivel W ∩ Z = 0, azért a dimenziótétel a következő alakra egyszerűsödik:

$\dim (W\oplus Z)=\dim W+\dim Z$,

ami a végtelen dimenziós esetekre is igaz.

Több operandus

A fenti műveletek általánosíthatók több operandusra. Legyen $(U_i{)}_{i\in I}$ a $V$ vektortér altereinek egy családja, ahol $I$ tetszőleges indexhalmaz! Ekkor

$\bigcap _{i\in I}{U}_i=\{v\in V\mid v\in U_i\text{ minden }i\in I\}$

szintén altér a $V$ vektortérben. Több altér összege

$\sum _{i\in I}{U}_i=\{\sum _{i\in I}{u}_i\mid u_i\in U_i,\text{ majdnem minden }{u}_i=0\}$

ahol csak véges sok tag különbözhet a csak nullvektorból álló altértől. Ha minden egyes $U_i$ altér metszete a többi altér összegével a nullvektorból álló vektortér, akkor az összeg direkt, jelölése

$\underset{i\in I}{⨁}{U}_i$

Ez ekvivalens azzal, hogy az összeg vektortér minden vektora egyértelműen előáll az egyes tag vektorterek elemeinek összegeként.

Származtatott terek

Kiegészítő altér

Legyen $V$ vektortér! Ekkor minden $U$ alteréhez van $W\subseteq V$ altér, amelyre igaz, hogy

$V=U\oplus W.$

Ekkor $W$ az $U$ komplementer tere. Minden komplementer térhez tartozik egy $P$ vetítés az $U$ altérre, azaz egy $P:V\to V$ idempotens lineáris leképezés, melyre teljesül, hogy

$V=P(V)\oplus (\mathrm{Id}-P)(V)$

ahol $\mathrm{Id}$ az identitás. Általában egy altérhez több komplementer tér is tartozik, melyek közül a vektortér struktúra egyet sem tüntet ki. Ha a térben van skalárszorzat, akkor vannak ortogonális alterek. Ha $V$ véges dimenziós, akkor minden $U$ alteréhez van egy $U^{\perp }$ ortogonális komplementer tere, és megfelel annak, hogy

$V=U\oplus U^{\perp }$.

Ez az $U^{\perp }$ altér az $U$ altér ortogonális komplementere.

Faktortér

Ha $V$ vektortér, akkor minden $U$ alteréhez hozzárendelhető egy $V/U$ faktortér. A faktortér úgy keletkezik, hogy a vektortér elemeit párhuzamosan levetítjük az altér mentén. Formálisan, a faktorteret az

$V/U=\{[v]\mid v\in V\}$

a $v\in V$ ekvivalenciaosztályainak halmaza. Egy $v\in V$ vektor a

$[v]=v+U=\{v+u\mid u\in U\}$ mellékosztály.

A mellékosztályok tehát az $U$ altér párhuzamos eltoltjai, és ezek alkotják a faktorteret, ami azonban izomorf az $U$ altér menti vetítéssel kapott altérrel. A mellékosztályokon reprezentánsok segítségével végezhetők műveletek, habár a faktortér nem altere a $V$ vektortérnek. A faktortér dimenziója a

$\dim V=\dim U+\dim V/U$ képlettel számítható.

A $V/U$ faktortér alterei pontosan a $W/U$ faktorterek, ahol $W$ aletere $V$-nek úgy, hogy $U\subseteq W\subseteq V$.

Duális tér, annihilátor

Legyen $V$ vektortér a $K$ test fölött! Ekkor $V$ duális terét a $V$-ből $K$-ba menő lineáris leképezések alkotják. Ha $X$ részhalmaza $V$-nek, akkor annihilátorát azok a fukcionálok alkotják, melyek eltűnnek az $X$ halmazon. Ez egy altér a duális térben. Vagyis,

$X^0=\{f\in V^{\ast }\mid f(x)=0\text{ minden }x\in X\}$.

Ha $V$ véges dimenziós, akkor $V$ egy $U$ alterének annihilátor terének dimenziója számítható a

$\dim V=\dim U+\dim U^0$ képlet alapján.

Tehát egy $U$ altér $U^{\ast }$ duális tere izomorf a $V^{\ast }/U^0$ faktortérrel.

A lineáris algebrában

Lineáris leképezések

Ha $T:V\to W$ egy lineáris leképezés az azonos test fölötti $V$ és $W$ vektorterek között, akkor a leképezés magja

$\ker T=T^{-1}(\{0\})=\{v\in V\mid T(v)=0\}$

altér $V$-ben, a leképezés képtere

$\mathrm{im}T=T(V)=\{T(v)\mid v\in V\}$

pedig altér $W$-ben. Továbbá, egy lineáris leképezés grafikonja altér a $V\times W$ direkt szorzat vektortérben. Ha a $V$ altér véges dimenziós, akkor a szóban forgó terekre teljesül a rangtétel:

$\dim V=\dim (\mathrm{im}T)+\dim (\ker T)$.

A kép dimenzióját rangnak, a mag dimenzióját pedig defektusnak nevezzük. A homomorfiatétel szerint a kép izomorf a $V/\ker T$ faktortérrel.

Lineáris egyenletek

Ha $T:V\to W$ lineáris leképezés az azonos test fölötti $V$ és $W$ vektorterek között, akkor a

$T(v)=0$

lineáris egyenletrendszer altér $V$-ben, és éppen $T$ magja. Egy inhomogén lineáris egyenletrendszer,

$T(v)=b$, ahol $b\ne 0$

megoldása affin-lineáris altere $V$-nek, ami a szuperpozíciós tulajdonság következménye. A megoldástér dimenziója megegyezik $T$ magjának dimenziójával.

Sajátértékprobléma

Ha $T:V\to V$ egy lineáris teret önmagába képező lineáris leképezés, tehát endomorfizmus, akkor a hozzá tartozó sajátértékprobléma

$T(v)=\lambda \cdot v$,

ekkor a $\lambda$ sajátértékhez tartozó sajátaltér

$\mathrm{Eig}(\lambda )=\{v\in V\mid T(v)=\lambda \cdot v\}$

altere $V$-nek, melynek nullvektortól különböző elemei a $\lambda$ sajátértékhez tartozó sajátvektorok. A sajátaltér dimenziója a sajátérték geometriai multiplicitása, ami nem feltétlenül egyezik az algebrai multiplicitással, de annál sosem nagyobb.

Invariáns alterek

Ha $T:V\to V$ endomerfizmus, akkor $V$ egy $U$ altere $T$-invariáns, ha

$T(U)\subseteq U$

vagyis $u\in U$ esetén a $T(u)$ képvektor szintén $U$-beli. Az $U$ altér $T$ szerinti képe altér $U$-ban. A $\{0\}$ és $V$ triviális alterek, $\ker T$, $\mathrm{im}T$ és $T$ minden sajáttere invariáns $T$-re. További fontos példák invariáns alterekre a főterek, melyek a Jordan-normálak meghatározására használatosak.

A funkcionálanalízisben

Hilbert-terekben

Hilbert-terekben, azaz teljes skalárszorzatos terekben többnyire alhilbertterekkel foglalkoznak, melyek amellett, hogy mint vektorterek alterek, még a skalárszorzatra is teljesek. Ez egyet jelent azzal, hogy az altér zárt a normából származó topológiára, melyet a skalárszorzat indukál. Egy Hilbert-tér nem minden altere teljes is, azonban lezárással mindig teljes teret kapunk, amiben azz altér sűrű. A vetítési tétel szerint létezik minden alhilberttérhez egy egyértelmű ortogonális komplementer, ami még zárt is. Az alhilbertterek fontos szerepet játszanak a kvantummechanikában, illetve jelek Fourier-, és multiskála-analízisben.

Banach-terek

Banach-terekben, azaz teljes normált terekben tekinthetők az albanachterek, melyek zártak a norma leszűkítésére. Az albanachterek szintén zártak. A Banach-terek minden alteréhez van egy teljes lezárt, melyben az altér sűrű. Szemben a Hilbert-terekkel, az albanachterekhez nincs mindig komplementer albanachtér. Teljes félnormált terekben a nulla félnormájú vektorok alvektorteret alkotnak. A félnormával ellátott térből faktortér képzésével normált tér kapható, ha azonosnak tekintjük azokat a vektorokat, melyek félnormája megegyezik. Ha a félnormával ellátott tér teljes, akkor ez a faktortér Banach-tér. A parciális differenciálegyenlet-rendszerek végeselem-módszerrel végzett numerikus megoldása során a megoldást a Szoboljev-tér alkalmas véges dimenziós albanachtereiben közelítik.

Topologikus duális terek

A funkcionálanalízisben az algebrai duális tér mellett foglalkoznak még egy $V$ vektortér $V^{\prime }$ topologikus duális terével is, ami azokból a lineáris leképezésekből áll, melyek a $V$ vektorteret alaptestébe képezik. Topologikus vektorterek esetén a topologikus duális tér az algebrai duális tér altere. A Hahn-Banach-tétel szerint egy valós vagy komplex vektortér egy alterén értelmezett, szublineáris függvénnyel korlátozható lineáris funkcionál lineárisan kiterjeszthető a teljes térre úgy, hogy ez a szublineáris függvény továbbra is korlát marad. Ennek következtében egy normált tér duális topologikus tere elegendő funkcionállal bír ahhoz, hogy megalapozhasson egy gazdag dualitáselméletet.

További alkalmazások

Az alterek további fontos alkalmazásai:

• A Gram-Schmidt-ortogonalizáció ortogonális bázisok létrehozásához
• A Krylow-altéreljárás nagy ritka lineáris egyenletrendszerek megoldására
• Optimalizációs problémák megoldása
• A kódoláselméletben lineáris kódok
• Projektív terek ábrázolása a projektív geometriában

Lásd még

• Dimenzió (lineáris algebra)
• Hamel-bázis
• Lineáris algebra
• Lineáris leképezés
• Vektortér

Források

• Siegfried Bosch. Lineare Algebra. Springer (2006) 
• Gilbert Strang. Lineare Algebra. Springer (2003) 
• Sablon:EoM
• Vector subspace a PlanetMath.org oldalon.
• Weisstein, Eric W.: Subspace (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Untervektorraum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.