Hardy-tér

A komplex analízis területén a Hardy-tér $H^p$ olyan egységkörben (azaz az egységkörlapon) vagy felső félsíkon definiált holomorf függvények tere, amelyeknek az értelmezési tartomány peremén értelmezett $p$-normája korlátos. Riesz Frigyes vezette be 1923-ban, Godfrey Harold Hardy 1915-ös cikkéből kiindulva. A valós analízisben a Hardy-tér olyan valós számegyenesen definiált disztribúciók tere, melyek komplex Hardy-terek holomorf függvényeinek peremértékeinek felelnek meg. Ha $p$ legalább 1, akkor a Hardy-terek a funkcionálanalízisben használt L^p-terek bizonyos részhalmazainak tekinthetők. A Hardy-terek jelentősek a matematikai analízis területén, továbbá az irányítástechnikában és a szóráselméletben.

Hardy-terek az egységkörben

Definíció

Legyen $$\begin{gathered} \mathbb{𝔻}=\{z\in \mathbb{ℂ}: \\ |z|<1\} \end{gathered}$$ a komplex egységkörlap. Adott pozitív valós $p$-re a Hardy-tér $H^p(\mathbb{𝔻})$ olyan egységkörlapon definiált holomorf függvények vektortere, melyekre a következő teljesül:

$\underset{0\le r<1}{\sup }{(\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(r{e}^{i\theta }){|}^{p}d\theta )}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }$.

Az egyenlőtlenség bal oldala $p\ge 1$ esetén egy norma, melyet általában $\Vert f{\Vert }_{H^p(\mathbb{𝔻})}$-vel jelölnek. A $H^p(\mathbb{𝔻})$-norma növekszik $p$-vel a Hölder-egyenlőtlenség következtében. A $H^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{𝔻})$-vel jelölt Hardy-tér olyan egységkörlapon definiált holomorf függvények vektortere, melyek a

$\Vert f{\Vert }_{H^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{𝔻})}=\underset{|z|<1}{\sup }|f(z)|$

normára tekintve korlátosak. Ha $0<p<q\le \mathrm{\infty }$, akkor $H^q(\mathbb{𝔻})$ valós részhalmaza $H^p(\mathbb{𝔻})$-nek.

Kiterjesztés az egységkörvonalra

Az egységkörlapon definiált Hardy-terek kiterjeszthetők az egységkörvonalra a következőképp: legyen $\mathbb{𝕋}=\{z\in \mathbb{ℂ}:|z|=1\}$ a komplex egységkör és $f\in H^p(\mathbb{𝔻})$, ahol $p\ge 1$. Ekkor a következő határérték majdnem minden $t\in [0,2\pi )$-re létezik:

$\overline{f}(e^{it}):=\underset{r\to 1}{\lim }f(r{e}^{it}),$

továbbá az egységkörön definiált $\overline{f}$ függvény $L^p(\mathbb{𝕋})$-normája megegyezik $\Vert f{\Vert }_{H^p(\mathbb{𝔻})}$-vel. Továbbá, $H^p(\mathbb{𝔻})$ megfeleltethető $L^p(\mathbb{𝕋})$ egy zárt lineáris alterének: egy adott $f$ függvény akkor és csak akkor eleme $H^p(\mathbb{𝔻})$-nek, ha az Poisson-integrálja egy $\overline{f}(e^{it})\in L^p(\mathbb{𝕋})$ függvénynek, tehát

$f(r{e}^{it})=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{P}_r(t-s)\overline{f}(e^{is})ds,\text{ahol}{P}_r(t)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos (t)+r^2},$

továbbá ha $\overline{f}(e^{it})$ negatív Fourier-együtthatói, tehát a

$\hat{f}(n)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\overline{f}(e^{it})e^{-int}dt$

kifejezések bármely $n<0$ egész számra nullák.

Hardy-terek a felső félsíkon

Legyen $\mathbb{ℍ}=\{x+iy\in \mathbb{ℂ}:y>0\}$ a felső komplex félsík. A Hardy-tér $H^p(\mathbb{ℍ})$ olyan $f:\mathbb{ℍ}\to \mathbb{ℂ}$ holomorf függvények tere, melyekre teljesül:

$\underset{y>0}{\sup }{(\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(x+iy){|}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}<\mathrm{\infty }$.

Az egyenlőtlenség bal oldala szintúgy egy norma, jelölés szerint $\Vert f{\Vert }_{H^p(\mathbb{ℍ})}$. Abban az esetben, amikor $p=\mathrm{\infty }$, a norma a következő: $\Vert f{\Vert }_{H^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{ℍ})}=\underset{z\in \mathbb{ℍ}}{\sup }|f(z)|$. Amikor általánosságban van szó Hardy-terekről, a szöveg kontextusából nyilvánvalóvá válik, hogy mi a térben levő függvények értelmezési tartománya, így a $H^p(\mathbb{𝔻})$-tér és a $H^p(\mathbb{ℍ})$-tér helyett a $H^p$-tér jelölés a legelterjedtebb.

Valós Hardy-terek

Definíció

Legyen $\varphi$ Schwartz-függvény ${\mathbb{ℝ}}^n$-en, melynek integrálja 1, ${\varphi }_t=t^{-n}\varphi (t^{-1}x)$ pedig egy Dirac-sor. Adott $0<p\le \mathrm{\infty }$ esetén $H^p({\mathbb{ℝ}}^n)$ olyan $f$ disztribúciók tere, amelyekre a következőképp definiált maximálfüggvény:

$(M_{\varphi }f)(x)=\underset{t>0}{\sup }|(f*{\varphi }_t)(x)|$

az $L^p({\mathbb{ℝ}}^n)$ tér eleme, ahol a $*$ a konvolúció műveletét jelöli. A térhez tartozó $H^p({\mathbb{ℝ}}^n)$-kvázinorma definíció szerint $\Vert f{\Vert }_{H^p({\mathbb{ℝ}}^n)}=\Vert M_{\varphi }f{\Vert }_{L^p({\mathbb{ℝ}}^n)}$, mely $p\ge 1$ esetén teljesíti a norma definícióját, azonban $p<1$-re nem teljesíti a szubadditivitás axiómáját, tehát nem norma. Fontos azonban megjegyezni, hogy $\Vert f{\Vert }_{H^p({\mathbb{ℝ}}^n)}^p$ már szubadditív 1-nél kisebb $p$-re, így egy metrikát definiál $H^p$-n, amely meghatározza a topológiáját és egy teljes metrikus térré teszi. Abban az esetben, amikor $p>1$, akkor az $L^p({\mathbb{ℝ}}^n)$- és $H^p({\mathbb{ℝ}}^n)$-terek megegyeznek, a normáik pedig ekvivalensek. Amennyiben $p=1$, akkor $H^1({\mathbb{ℝ}}^n)$ valós részhalmaza $L^1({\mathbb{ℝ}}^n)$-nek, azonban nem zárt benne és a normáik sem ekvivalensek.

Atomos technika

Ha $0<p\le 1$, a valós Hardy-terek különböznek az $L^p({\mathbb{ℝ}}^n)$-terektől, viszont könnyebben hasznosíthatóak a harmonikus analízisben, ugyanis elemei felbonthatóak egyszerűbb függvények összegeire. Ezeket a függvényeket atomoknak hívjuk, és számos Hardy-terek elemeivel kapcsolatos megállapítást elegendő az atomok szintjén bizonyítani. $H^p$-atomnak hívunk egy olyan $a$ függvényt, ha létezik egy olyan $B$ golyó, melynek részhalmaza $a$ tartója, tehát az értelmezési tartományának azon pontjainak halmazának lezártja, melyeken $a$ nemnulla értéket vesz fel; továbbá ha $|a|\le |B{|}^{-1/p}$ majdnem mindenütt, és $\int x^{\beta }a(x)dx=0$ minden olyan $\beta$-ra, melynek abszolút értéke nem nagyobb $n(p^{-1}-1)$-nél. Az első két feltétel garantálja, hogy

$\int |a(x){|}^{p}dx\le 1$,

a harmadik feltétel pedig biztosítja, hogy egy adott $c$ konstansra teljesül

$\int ((M_{\varphi }a)(x){)}^{p}dx\le c$.

Minden $f\in H^p({\mathbb{ℝ}}^n)$ függvényre $p\le 1$ esetén teljesül, hogy felbontható atomok végtelen sorára, tehát

$f=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_k{a}_k$,

ahol $\{a_k\}$ atomok halmaza, $\{{\lambda }_k\}$ pedig olyan komplex számok sorozata, melyre ${\sum }_{k=1}^{\mathrm{\infty }}|{\lambda }_k{|}^p\le \mathrm{\infty }$. Az $f$-et leíró sor a disztribúciók értelmében konvergens, továbbá a következő is teljesül:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|{\lambda }_k{|}^p\le c\Vert f{\Vert }_{H^p({\mathbb{ℝ}}^n)}.$

Fontos megjegyezni, hogy $1<p<\mathrm{\infty }$ esetén nem garantált, hogy az atomok által definiált sor $H^p$-ben konvergál, azonban lehetséges úgy módosítani a módszert, hogy egy tetszőleges valós Hardy-tér eleme is felbontható legyen.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Hardy space című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
• Ez a szócikk részben vagy egészben a Hardy-Raum című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Katznelson, Yitzhak. An Introduction to Harmonic Analysis. Dover Publications (1976). ISBN 978-0-486-63331-2 
• Stein, Elias M.. Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press (1993). ISBN 978-1-400-88392-9