Hatványközepek közötti egyenlőtlenség

A hatványközepek közötti egyenlőtlenség azt állítja, hogy ha $a_1,\dots ,a_n$ nemnegatív valós számok, akkor $p<q$ esetén p-edik hatványközepük legfeljebb akkora, mint a q-adik, azaz

$K_p\le K_q$

ahol $p>0$-ra

$K_p={\left(\frac{a_1^p+\cdots +a_n^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}.$

Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha $a_1=\cdots =a_n$. A $p=0$ értékre is definiálhatjuk a $K_p$ mennyiséget, ugyanis

$\underset{p\to 0}{\lim }{K}_p=\sqrt[n]{a_1\cdots a_n},$

a mértani közép. Az egyenlőtlenségből határátmenettel adódik $K_0\le K_1$, azaz a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség.

Bizonyítás

Alább általánosabban, súlyozott hatványközepekre látjuk be a tételt. Legyenek $a_1,\dots ,a_n$ nemnegatív valósok, és ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ pozitív súlyok, melyekre $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=1$, valamint $0<p<q$, hogy $q=p\cdot r$. Ekkor az $x^r$ szigorú konvexitása miatt a Jensen-egyenlőtlenség szerint

${\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i^p\right)}^r\le \sum _{i=1}^n{\lambda }_i{\left(a_i^p\right)}^r=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i^q$,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha $a_1=\cdots =a_n$; $q$-adik gyököt vonva, kihasználva a gyökvonás szigorú monotonitását

${\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i{a}_i^q\right)}^{\frac{1}{q}}$,

ahol az egyenlőség akkor, és csak akkor teljesül, ha $a_1=\cdots =a_n$. Ha $p<q<0$, a bizonyítás igen hasonlóan megy. Ha $p<0<q$, akkor az előzőleg belátott monotonitásokat felhasználva, és figyelembe véve, hogy $\underset{p\to 0}{\lim }{\left(\frac{{\lambda }_1{a}_1^p+\cdots +{\lambda }_n{a}_n^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}$ létezik, adódik, hogy

$\underset{p<0}{\sup }{(\sum {\lambda }_i{a}_i^p)}^{\frac{1}{p}}=\underset{p\to 0}{\lim }{\left(\frac{{\lambda }_1{a}_1^p+\cdots +{\lambda }_n{a}_n^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}=\underset{q>0}{\inf }(\sum {\lambda }_i{a}_i^q)$ , ahonnan ${(\sum {\lambda }_i{a}_i^p)}^{\frac{1}{p}}\le {(\sum {\lambda }_i{a}_i^q)}^{\frac{1}{q}}$.

Kiterjesztés függvény intervallumon vett hatványközepére

Ha $f$ függvény $[a,b]$ intervallumon Riemann-integrálható, akkor

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{b-a}{n}{f}^q(a+i\frac{b-a}{n})=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^q(x)dx$

ahonnan, ha $p<q$ az előzőek szerint:

${(\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^p(x)dx)}^{\frac{1}{p}}={\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{n}{f}^p(a+i\frac{b-a}{n})\right)}^{\frac{1}{p}}\le {\left(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{b-a}{n}{f}^q(a+i\frac{b-a}{n})\right)}^{\frac{1}{q}}={(\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^q(x)dx)}^{\frac{1}{q}}$