Kétoldali Laplace-transzformáció

A matematikában a kétoldali Laplace-transzformáció egy integráltranszformáció, ami ekvivalens a valószínűségszámítás momentum-generátorfüggvényével. Közel áll a közönséges vagy egyoldali Laplace-transzformációhoz, a Fourier-transzformációhoz és a Mellin-transzformációhoz. Ha az ƒ(t) függvény a valós számokon értelmezett, valós vagy komplex értékű függvény, akkor kétoldali Laplace-transzformáltja

${ℬ}\{f(t)\}=F(s)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

Ez az integrál többnyire improprius, ami akkor és csak akkor konvergál, ha minden

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt,\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt$

is konvergál. Nincs általánosan használt jelölés erre a transzformációra; cikkünkben a ${ℬ}$ jelet használjuk, ami a bilateralis (kétoldali) szóra utal. Egyes szerzők a transzformációt az

${𝒯}\{f(t)\}=s{ℬ}\{f(t)\}=sF(s)=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-st}f(t)dt.$

alakban értelmezik. A tiszta matematikában t bármilyen változó lehet, és a Laplace-transzformációkat a differenciáloperátorok tanulmányozására használják. A természettudományos és mérnöki alkalmazásokban t gyakran az időt jelenti, ƒ(t) pedig jel, vagy hullámforma. A jeleket szűrők transzformálják, amelyek matematikai operátorokként jelennek meg, de oksági korlátozással. Ez azt jelenti, hogy t₁ egy értékére a kimenet nem függhet ƒ(t₂) értékétől, ha t₂ > t₁. A populációökológiában t gyakran térbeli elhelyezkedést reprezentál. Ha ƒ(t) az idő függvénye, akkor ƒ(t) a jel időtartománybeli reprezentációja, míg F(s) az s-tartománybeli vagy Laplace-tartománybeli reprezentáció. Az inverz transzformáció a jel szintézisét írja le, mint különféle hullámhosszú komponensek összege, ezzel szemben maga a transzformáció a jel komponensekre bontását jelöli.

Kapcsolat a többi transzformációval

Ha u(t) a Heaviside-függvény (nulla, ha t negatív, fél, ha t nulla, és egy, ha t pozitív), akkor az ${ℒ}$ Laplace-transzformáció definiálható a kétoldali Laplace-transzformációval:

${ℒ}\{f(t)\}={ℬ}\{f(t)u(t)\}.$

Másrészt

${ℬ}\{f(t)\}(s)={ℒ}\{f(t)\}(s)+{ℒ}\{f(-t)\}(-s),$

így mindkét Laplace-transzformáció kifejezhető a másikkal. A Mellin-transzformáció definiálható, mint

${ℳ}\{f(t)\}(s)={ℬ}\{f(e^{-x})\}(s),$

és megfordítva

${ℬ}\{f(t)\}(s)={ℳ}\{f(-\ln x)\}(s).$

A Fourier-transzformáció

${ℱ}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).$

Meg kell jegyeznünk, hogy a Fourier-transzformáció definíciói különböznek, így egyes szerzők az előző helyett ezt használják:

${ℱ}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{ℬ}\{f(t)\}(s)$

A kétoldali Laplace-transzformáció is kifejezhető Fourier-transzformációval:

${ℬ}\{f(t)\}(s)={ℱ}\{f(t)\}(-is).$

Általában az összes valós számra definiálják a Fourier-transzformációt, de előfordul, hogy egy $a<\mathrm{\Im }(s)<b$ sávon értelmezik, ami nem biztos, hogy tartalmazza a valós tengelyt. A folytonos ƒ(x) valószínűségi sűrűségfüggvény momentum-generátorfüggvénye kifejezhető, mint ${ℬ}\{f\}(-s)$.

Tulajdonságai

Tulajdonságai hasonlóak az egyoldali Laplace-transzformációhoz, az alábbi különbségekkel:

A Laplace-transzformációk tulajdonságai

	Időtartomány	egyoldali-'s' tartomány	kétoldali-'s' tartomány
Derivált	$f^{\prime }(t)$	$sF(s)-f(0)$	$sF(s)$
Második derivált	$f^{″}(t)$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$	$s^{2}F(s)$

A kétoldali Laplace-transzformáció ekvivalens a null kezdeti feltételekkel. Emiatt alkalmasabb a differenciálegyenletek átviteli függvényeinek számítására, vagy egy egyszerű partikuláris megoldás keresésére.

Konvergenciatartomány

A kétoldali konvergenciafeltételei bonyolultabbak, mint az egyoldalié, emiatt a konvergenciatartomány is kisebb. Ha f lokálisan integrálható (vagy általánosabban, lokálisan korlátos megváltozású egy Borel-mérték szerint), akkor f Laplace-transzformáltja, F(s) konvergál, ha az

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{R}{\int }}f(t)e^{-st}dt$

határérték létezik. A Laplace-transzformált abszolút konvergens, ha az

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t)e^{-st}|dt$

határérték létezik. Általában a Laplace-transzformáltat feltételesen konvergensnek tekintik, azaz csak az első teljesül. Az F(s) konvergenciatartományára igaz, hogy alakja Re(s) > a vagy Re(s) ≥ a, ahol a kiterjesztett valós szám, azaz −∞ ≤ a ≤ ∞. Ez a dominált konvergencia tételéből következik. Ez az a konstans az abszolút konvergencia abszcisszája, és f(t) növekedési tulajdonságától függ. Hasonlóan, a kétoldali Laplace-transzformált egy a < Re(s) < b sávban konvergál, amibe Re(s) = a és/vagy Re(s) = b is beletartozhat. Emellett lehet még beszélni az abszolút konvergencia sávjáról is, ami általában ennek valódi része. A Laplace-transzformált analitikus az abszolút konvergencia sávjában. Ahol F(s) konvergens, de nem abszolút konvergens, az a feltételes konvergencia tartománya. Ha a Laplace-transzformált (feltételesen) konvergens s = s₀-ban, akkor konvergens minden s-re, amire Re(s) > Re(s₀). Így a konvergenciatartomány egy Re(s) > a alakú félsík, ami lehet, hogy tartalmazza a Re(s) = a egyenest. A Re(s) > Re(s₀) konvergenciatartományban f Laplace-transzformáltja kifejezhető parciális integrálként:

$F(s)=(s-s_0)\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-(s-s_0)t}\beta (t)dt,\beta (u)=\underset{0}{\overset{u}{\int }}{e}^{-s_{0}t}f(t)dt.$

Így F(s) konvergenciatartományában egy hatékony képlettel fejezhető ki, mint egy másik függvény abszolút konvergens Laplace-transzformáltja, ezért analitikus is. Több Paley–Wiener-tétel is kapcsolatot teremt f csökkenése és a Laplace-transzformált tulajdonságai között a konvergenciatartományban. A mérnöki alkalmazásokban egy lineáris időinvariáns rendszernek megfelelő függvény stabil, ha korlátos bemenethez korlátos kimenetet ad.

Okság

Sok mérnöki és természettudományos alkalmazásban a t változó időt jelöl, és követelmény, hogy a későbbi időpontokbeli állapot ne hathasson vissza korábbra. Ez az okság elve. A kétoldali transzformációk nem teljesítik ezt a megkötést, emiatt ezek az alkalmazások inkább egyoldali transzformációkat használnak.

Források

• LePage, Wilbur R., Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers, Dover Publications, 1980/
• Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.
• Widder, David Vernon (1941), The Laplace Transform, Princeton Mathematical Series, v. 6, Princeton University Press.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Two-sided Laplace transform című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.