Karakterisztikus függvény

A matematikában a karakterisztikus függvény (vagy ritkábban: indikátorfüggvény) olyan függvény, amely azt jelzi, hogy értelmezési tartományának pontjai elemei-e egy halmaznak. A fogalom fontos szerepet játszik a matematikai analízisben, a mértékelméletben és a kombinatorikában. A valószínűségszámításban szerepet játszik egy másik, szintén karakterisztikus függvénynek nevezett fogalom, amelynek az itt taglaltakhoz nincs köze.

Definíció

Legyen az A halmaz az X alaphalmaz egy részhalmaza. Ekkor A karakterisztikus függvényének nevezzük az X halmaz felett azt a

${\mathit{\chi }}_A:X\to \{0,1\}$

függvényt, amelyre

$$\begin{gathered} {\mathit{\chi }}_A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ha} \\ x\in A,\\ 0,& \text{ha} \\ x\notin A.\end{array} \end{gathered}$$

Alapvető tulajdonságok

A fenti jelölésekkel

${\mathit{\chi }}_X=\mathbf{1}$

és

${\mathit{\chi }}_{\mathrm{\varnothing }}=\mathbf{0}$,

ahol $\mathbf{0}$ jelöli az azonosan 0 függvényt, és $\mathbf{1}$ jelöli az azonosan 1 függvényt. Legyen $A$ és $B$ az $X$ két részhalmaza. Akkor

${\mathit{\chi }}_{A\cap B}=\min \{{\mathit{\chi }}_A,{\mathit{\chi }}_B\}={\mathit{\chi }}_A\cdot {\mathit{\chi }}_B,$

${\mathit{\chi }}_{A\cup B}=\max \{{\mathit{\chi }}_A,{\mathit{\chi }}_B\}={\mathit{\chi }}_A+{\mathit{\chi }}_B-{\mathit{\chi }}_A\cdot {\mathit{\chi }}_B.$

Példák

• A szignumfüggvény abszolút értéke a nemnulla valós számok karakterisztikus függvénye;
• A H₁(x) módosított Heaviside-függvény a nemnegatív valós számok karakterisztikus függvénye;
• A magyar szakirodalomban Dirichlet-függvényként ismert leképezés a racionális számok halmazának karakterisztikus függvénye a valós számok felett;

Források

• Császár Ákos: Valós analízis II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1999) ISBN 963-190-114-9