Kummer-függvény

A matematikában több függvény is Kummer-függvényként ismert. A Kummer-függvényeket többnyire fizikai problémák megoldásánál használják. A függvények Ernst Kummer (1810 – 1893) német matematikusról kapták a nevüket. Az egyik ilyen ismert függvény az úgynevezett „speciális hipergeometrikus függvény”. A másik ismert függvény a polilogaritmushoz kapcsolódik, melynek a definíciója alább látható. A Kummer-függvény definíciója:

${\mathrm{\Lambda }}_n(z)=\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{{\log }^{n-1}|t|}{1+t}dt.$

A duplikációs formája:

${\mathrm{\Lambda }}_n(z)+{\mathrm{\Lambda }}_n(-z)=2^{1-n}{\mathrm{\Lambda }}_n(-z^2)$.

Összehasonlítva a duplikációs formulát a polilogaritmussal: ${\mathrm{Li}}_n(z)+{\mathrm{Li}}_n(-z)=2^{1-n}{\mathrm{Li}}_n(z^2).$ Egy explicit kapcsolat a polilogaritmushoz:

${\mathrm{Li}}_n(z)={\mathrm{Li}}_n(1)+\sum _{k=1}^{n-1}(-{)}^{k-1}\frac{{\log }^k|z|}{k!}{\mathrm{Li}}_{n-k}(z)+\frac{(-{)}^{n-1}}{(n-1)!}[{\mathrm{\Lambda }}_n(-1)-{\mathrm{\Lambda }}_n(-z)].$

Irodalom

• Lewin, Leonard, ed: Structural Properties of Polylogarithms. (hely nélkül): Providence, RI: American Mathematical Society. 1991. ISBN 0-8218-4532-2  

Források

• http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/12665

Kapcsolódó szócikkek

• Polilogaritmus
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika