Leibniz-féle jelölés

A matematikában a Leibniz-féle jelölés a dx és dy szimbólumokat jelenti, melyek az x és y infinitezimális, azaz minden határon túl a zérushoz tartó kis változásait jelenti. Ezt a jelölést a 17. században élt Gottfried Wilhelm Leibniz német filozófusról és matematikusról nevezték el.

$y=f(x),$ x szerinti deriváltja Leibniz után:

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{(x+\mathrm{\Delta }x)-x},$

azaz, y infinitezimális növekménye és az x infinitezimális növekményének a hányadosa, vagy

$y=f(x),$

ahol a jobb oldal a Lagrange-féle jelöléssel az f(x) deriváltja x szerint. A modern infinitezimális elmélet szempontjából a $\mathrm{\Delta }x$ az infinitezimális x-növekmény, $\mathrm{\Delta }y$ pedig ennek megfelelően az y növekménye, és a derivált az infinitezimális arány standard része:

$f^{\prime }(x)=\mathrm{s}\mathrm{t}\left(\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\right)$.

Majd ha $dx=\mathrm{\Delta }x$, $dy=f^{\prime }(x)dx$, így definíció szerint az $f^{\prime }(x)$ a dy és dx aránya. Hasonlóképpen, matematikusok gyakran így tekintenek egy integrált

$\int f(x)dx$

mint egy határértéket

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\sum _{i}f(x_i)\mathrm{\Delta }x,$

ahol Δx egy intervallum, mely x_i-t tartalmazza. Leibniz ezt úgy tekintette, mint (az integrál jel utal a szummázásra) végtelen sok infinitezimális f(x) dx mennyiség szummájára. A modern megfogalmazás szerint korrektebb ezt az integrált úgy tekinteni, mint az ilyen mennyiségek végtelen szummájának a standard részét.

Történet

Az infinitezimális számítás Newton–Leibniz-féle megközelítését a 17. században vezették be. Míg Newtonnak nem volt standard jelölése az integrálásra, Leibniz az $\int$ szimbólumot kezdte használni. Ennek a karakternek az elnevezését a latin summa (összegzés) szóra alapozta, melyet a Németországban általánosan használt nyújtott s betűvel ſumma alakban írt. A szimbólumot először az Acta Eruditorum 1686-os kiadásában használták nyilvánosan, de Leibniz már legalább 1675 óta alkalmazta azt magánjegyzeteiben. A 19. században néhány matematikus logikailag hibásnak vélte Leibniz koncepcióját (Cauchy, Weierstrass és mások), miközben a Leibniz-féle jelölést továbbra is használták. 1960-ban Edwin Hewitt, Jerzy Łoś, és Abraham Robinson kidolgozott egy szigorú matematikai magyarázatot Leibniz eredeti jelölésére, mely a nemstandard analízisen alapul.

Leibniz-féle jelölés differenciálásra

A Leibniz-féle jelölés differenciálásra, az f(x) függvényre:

$\frac{d(f(x))}{dx}.$

Ha van egy változónk, mely egy függvényt jellemez, legyen például

$y=f(x),$

akkor a deriváltja:

$\frac{dy}{dx}.$

A Lagrange-féle jelöléssel:

$\frac{d(f(x))}{dx}=f^{\prime }(x).$

A Newton-féle jelöléssel:

$\frac{dx}{dt}=\dot{x}.$

Magasabb fokú deriváltakra:

$\frac{d^n(f(x))}{d{x}^n}\text{ vagy }\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

Ez abból a tényből következik, hogy például, a harmadik derivált:

$\frac{d\left(\frac{d\left(\frac{d(f(x))}{dx}\right)}{dx}\right)}{dx},$

melyet így is írhatunk:

${\left(\frac{d}{dx}\right)}^3(f(x))=\frac{d^3}{{\left(dx\right)}^3}(f(x)).$

Elhagyva a zárójeleket:

$$\begin{gathered} \frac{d^3}{d{x}^3}(f(x)) \\ \text{or} \\ \frac{d^{3}y}{d{x}^3}. \end{gathered}$$

A láncszabályt és a részenkénti integrálást könnyű itt kifejezni, mert a "d" kifejezés „eltűnik”:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d{u}_1}\cdot \frac{d{u}_1}{d{u}_2}\cdot \frac{d{u}_2}{d{u}_3}\cdots \frac{d{u}_n}{dx},$

stb…., és:

$\int ydx=\int y\frac{dx}{du}du.$

Irodalom

• Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Dover Publications, Inc., New York, 1987.
• Baron, Margaret E.: The origins of the infinitesimal calculus. Pergamon Press, Oxford-Edinburgh-New York 1969. (A new edition of Baron's book appeared in 2004)
• Lavendhomme, R.: Basic concepts of synthetic differential geometry, Kluwer, Dordrecht, 1996
• O'Connor, Michael: An Introduction to Smooth Infinitesimal Analysis
• Stewart, James: Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). (hely nélkül): Brooks/Cole. 2007. ISBN 0-495-01166-5  
• J. M. Child: Early Mathematical Manuscripts of Leibniz. (hely nélkül): Open Court Publishing Co. 1920.  

Kapcsolódó szócikkek

• Riemann-integrál
• Binomiális tétel
• Parciális derivált