Leontief-inverz

A Leontief-inverz mátrixalgebrai fogalom, alkalmazási területe mégis szinte kizárólag a közgazdaságtanra, azon belül az input-output (IO) elemzések illetve a Leontief-technológia tárgykörére korlátozódik. Egy $\mathbf{A}$ négyzetes mátrix Leontief-inverzét a következő képlettel számolhatjuk ki: ${(\mathbf{E}-\mathbf{A})}^{-1}$, ahol $\mathbf{E}$ az egységmátrix.

Matematikai jelentősége

• Szerepet kap a következő vektoregyenlet megoldásában:

$\mathbf{x}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{y}$,

hiszen $\mathbf{x}={(\mathbf{E}-\mathbf{A})}^{-1}\mathbf{y}$.

• A Leontief-inverz megegyezik az $\mathbf{A}$ mátrix Neumann sorának határértékével (amennyiben az konvergens), azaz

${(\mathbf{E}-\mathbf{A})}^{-1}=\mathbf{E}+\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2+\cdots +{\mathbf{A}}^n+\cdots$

• A Perron–Frobenius-tétel többek között nemnegativitásának feltételeivel is foglalkozik.

Közgazdaságtani jelentősége

A Leontief-inverz fontos szerepet kap Leontief input-output modelljében. Itt az $\mathbf{A}$ mátrix a ráfordítási együtthatók mátrixa, melyben a j. oszlop i. eleme azt mutatja meg, hogy a j sorszámú előállított termék egységnyi kibocsátásához hány egységet kell az i. termékből közvetlenül felhasználni a termelés során. Ebből következik, hogy a közgazdasági alkalmazásokban elsősorban nemnegatív mátrixok Leontief-inverzével foglalkoznak. A nehézségek abból adódnak, hogy a termékek felhasznált mennyiségei egymással, és saját magukkal is körkörös kapcsolatban vannak. Egy termék előállításához például szükség lehet saját magából is valamekkora mennyiségre, vagy A termékhez fel kell használnunk valamennyit B-ből, de B-hez is elengedhetetlen egy kevés A és így tovább. Ezt a problémát oldja meg a Leontief-inverz, amely az ilyen tovagyűrűző kapcsolatrendszerek együttes, végső hatásait vonja össze egy mátrixba. A Leontief-inverz elemei már nem csupán a közvetlen ráfordításokat tartalmazzák. j. oszlopa azt mutatja meg, hogy a j. termékből egységnyi többlet előállításához közvetlenül és közvetve hány egységgel kell az egyes termékek kibocsátását megnövelni. Ezen oszlop j. sora - tehát a saját magából szükséges mennyiség - már tartalmazza az 1 egységnyi végső kibocsátást is, ezért a diagonálisbeli elemek várhatóan 1-nél nem kisebb értéket vesznek fel. Ha pusztán a teljes ráfordításokra vagyunk kíváncsiak, használjuk az ${(\mathbf{E}-\mathbf{A})}^{-1}-\mathbf{E}$ mátrixot. A fenti értelmezés megköveteli, hogy a Leontief-inverz elemei is nemnegatívak legyenek, ehhez viszont gyakran nem elegendő a ráfordítási együtthatók nemnegativitása. Szükséges még az $\mathbf{A}$ mátrix produktivitása is, ami azt jelenti, hogy a tovagyűrűző hatások egy idő után „lecsillapodnak”, és nem implikálnak minden határon túl növekvő ráfordítást. Matematikailag ezt a Gale-féle produktivitási kritérium írja le: egy nemnegatív, négyzetes $\mathbf{A}$ mátrix produktív, ha létezik olyan $\mathbf{x}\ge \mathit{0}$ vektor, hogy $\mathbf{x}>\mathbf{A}\mathbf{x}$, azaz létezik olyan bruttó kibocsátási vektor, ami meghaladja a hozzá közvetlenül szükséges ráfordítások mértékét. Általánosításként lehet felfogni a dinamikus Leontief-mátrixot, mellyel többidőszakos IO modellekben találkozhatunk. Itt a tovagyűrűző hatások már nem csak termékek, hanem egymást követő időszakok között is érvényesülnek. A Leontief-inverz kitüntetett szerepet kap az ÁKM-elemzésekben is.

Példa

Képzeljünk el egy gazdaságot ahol három terméket állítanak elő: műanyag babát, műanyagot és áramot. A termékek előállítása során is csak ezeket a termékeket használják fel alapanyagként, a táblázatban látható mennyiségben:

	Műanyag baba	Műanyag	Áram
Műanyag baba	0,05	0,1	0
Műanyag	1,5	0,4	0,2
Áram	0,8	1,1	0,01

Például 1 műanyag babához 1,5 egység műanyagra és 0,05 egység műanyag babára van szükség (utóbbi például úgy értelmezhető hogy minden 20. termék selejtes lesz, ezt újra beolvasztják műanyagnak). A ráfordítási együtthatók mátrixa:

$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0,05& 0,1& 0\\ 1,5& 0,4& 0,2\\ 0,8& 1,1& 0,01\end{array}\right]$.

A Leontief-inverz:

${(\mathbf{E}-\mathbf{A})}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1,96& 0,52& 0,1\\ 8,62& 4,93& 1\\ 11,16& 5,9& 2,2\end{array}\right]$.

Látható, hogy minden eleme pozitív, ezért az $\mathbf{A}$ mátrix produktív volt. Ha a célunk 100 db műanyag baba (nettó) előállítása, akkor ehhez közvetlenül és közvetetten 96 műanyag babát, 862 egység műanyagot, és 1116 egység áramot kell felhasználnunk.

Források

• Zalai Ernő: Matematikai közgazdaságtan