Lorentz-transzformáció

A Lorentz-transzformáció egy holland fizikus, Hendrik Lorentz (1853-1928) nevéhez fűződik. A transzformáció kapcsolatot létesít két inerciarendszer között, amelyek X, Y és Z tengelyei párhuzamosak és amelyek egymáshoz képest X-irányú egyenes vonalú egyenletes mozgást végeznek. A kölcsönös mozgás az X tengely mentén v sebességgel történik. A transzformációval kiszámíthatjuk egy K rendszerben lévő esemény idejét és helyét egy K’ rendszerben is. Tehát ha adva van az x, y, z, t, akkor a Lorentz-transzformáció segítségével meghatározhatjuk x’, y’, z’, t’ értékeit. Lorentz nem tudta megadni a transzformáció igazi értelmét, mivel ő nem tudta értelmezni a kétféle rendszeridőt. A helyes értelmezést Albert Einstein alkotta meg a speciális relativitáselméletben.

A transzformáció egyenletei

$x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

$y^{\prime }=y$

$z^{\prime }=z$

$t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

A transzformáció levezetése

Egy olyan fényjelet, amely az X tengely pozitív irányában halad, a következő egyenlettel lehet felírni:

$x=ct$

amiből egyértelműen következik az, hogy:

$$\begin{gathered} x-ct=0 \\ (1) \end{gathered}$$.

A fény az egyenlet szerint terjed. Mivel azt akarjuk, hogy a fény K' rendszerben is c sebességgel haladjon (azaz a fény mindkét rendszerben azonos sebességgel terjedjen), a K' rendszerben is a fenti, azaz az (1) egyenletet kell venni:

$$\begin{gathered} x^{\prime }-c{t}^{\prime }=0 \\ (2) \end{gathered}$$

Azoknak az eseményeknek, melyek az (1) egyenletre igazak, igazaknak kell lenniük a (2) egyenletre is. Ez a feltétel teljesülni fog, ha a

$x^{\prime }-c{t}^{\prime }=\lambda (x-ct)(3)$

egyenletet vesszük. Itt a λ egy állandót jelöl. A (3) egyenlet miatt az $x-ct$ eltűnése egyértelműen maga után vonja az $x^{\prime }-c{t}^{\prime }$ eltűnését is, mivel a kettő egyenlet ugyanaz, csak más inerciarendszerben számolunk vele. A negatív X tengely irányában terjedő fényre a következő hasonló egyenletet kell feltennünk:

$x^{\prime }+c{t}^{\prime }=\mu (x+ct)(4)$.

Itt µ megint egy állandót jelöl. Adjuk össze, majd vonjuk ki egymásból a (3) és (4) egyenletet, majd vezessük be a λ és µ állandók helyett az alábbi két egyenletet az egyszerűsítés érdekében:

$$\begin{gathered} a=\frac{\lambda +\mu }{2} \\ (5a) \end{gathered}$$

és

$$\begin{gathered} b=\frac{\lambda -\mu }{2} \\ (5b) \end{gathered}$$.

Ezekkel az

$x^{\prime }=ax-bct$

és

$c{t}^{\prime }=act-bx$

egyenleteket kapjuk. Mivel még nem ismerjük az immáron a és b állandókat, így ezeket ki kell következtetnünk. Ez a következő gondolatmenetből adódik. A K' rendszer kezdőpontjában $x^{\prime }=0$, így következik az (5a) és (5b) egyenletekből:

$x=\frac{bc}{a}t$.

Jelöljük v-vel azt a sebességet, amivel az egyik rendszer a másikhoz képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végez. Így ebben az esetben:

$$\begin{gathered} v=\frac{bc}{a} \\ (6) \end{gathered}$$.

A v-re, azaz a sebességre ugyanilyen értéket fogunk kapni abban az esetben is, ha a K' rendszer egy másik pontjának a sebességét a K' rendszerhez képest vizsgáljuk, illetve ha a K rendszer egy pontjának (ami a negatív X tengely irányába irányul) a sebességét a K' rendszerhez viszonyítva számoljuk ki. Tehát ebből következik, hogy a v sebessége a K és K' rendszerek relatív sebességének felel meg. A relativitás elve miatt világos továbbá az is, hogy a K' rendszerhez viszonyítva egy nyugvó egység K rendszerből mért hosszának ugyanakkorának kell lennie, mint a K rendszerhez viszonyítva nyugvó egység K' rendszerből mért hossza. Ahhoz, hogy megtudjuk, hogyan látjuk az X' tengely pontjait a K rendszerből, nem kell mást tennünk, mint megállítanunk az időt és a t-nek egy értéket kell adnunk. (például $t=0$) Ebben az esetben (5a) alatti egyenletből

$x^{\prime }=ax$

lesz. Az X' tengely két olyan pontja, melyek a K rendszerben mérve $x^{\prime }=1$ távolságban vannak egymástól, az általunk "megfagyasztott" időben

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }x=\frac{1}{a} \\ (7) \end{gathered}$$

távolságra van egymástól. Ha azonban mi a "megfagyasztott" idő alatt a K' rendszerből viszonyítunk, akkor (még mindig $t^{\prime }=0$), akkor az (5a) és (5b) egyenletből a t állandó kivonásával, tekintettel a (6) egyenletre

$x^{\prime }=a(1-\frac{v^2}{c^2})x$

összefüggést kapunk. Ebből arra következtethetünk, hogy az X tengelyen két egység a K rendszerhez viszonyítva a "fagyasztott" idő alatt

$\mathrm{\Delta }{x}^{\prime }=a(1-\frac{v^2}{c^2})(7a)$

egység távolságban van egymástól. Mivel az egységeknek mindkét rendszerből nézve egyenlő távolságra kell lenniük, így az kell, hogy a (7) egyenlet Δx változója legyen egyenlő a (7a) egyenlet Δx értékével. Így ebből az következik, hogy

$$\begin{gathered} a^2=\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ (7b) \end{gathered}$$.

A (6) és (7b) egyenletek meghatározzák az a és b állandók értékét. Ha az (5) egyenletbe behelyettesítjük a és b értékeit, akkor a Lorentz-transzformáció két egyenletét kapjuk:

$x^{\prime }=\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(8a)$

és

$$\begin{gathered} t^{\prime }=\frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\ (8b) \end{gathered}$$

Így megkaptuk a Lorentz-transzformációt az X tengelyen történő eseményekre. A két egyenlet kielégíti a

$x{\text{'}}^2-c^{2}t{\text{'}}^2=x^2-c^2{t}^2$

egyenletet. Azokat az eseményeket, amik nem az X tengelyen mennek végbe, úgy tudjuk meghatározni, hogy hozzácsatoljuk az

$y^{\prime }=y$

és

$z^{\prime }=z$

egyenleteket a (8a) és (8b) egyenletekhez, mivel az Y és Y', illetve a Z és Z' tengelyek párhuzamosak, így K és K' rendszerben a pontjaik ilyen koordinátái egyenlőek.

Források

• Albert Einstein - A speciális és általános relativitás elmélete, Gondolat, Budapest 1973. (Vámos Ferenc fordítása)