Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség

A mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, ami szerint ha $a_1,\dots ,a_n$ pozitív valós számok, akkor

$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\le \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$

teljesül, tehát n szám mértani közepe legalább akkora, mint a harmonikus közepe. Egyenlőség csak akkor van, ha $a_1=\cdots =a_n$.

Bizonyítása

Legyenek $a_1,\dots ,a_n$ pozitív valós számok. Alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget a szintén pozitív valós $\frac{1}{a_1},\dots ,\frac{1}{a_n}$ számokra:

$\sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdots \frac{1}{a_n}}\le \frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}$

Felhasználva a gyökvonás azonosságait:

$\frac{1}{\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}}\le \frac{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}{n}$

Átszorozva készen is vagyunk:

$\frac{n}{\frac{1}{a_1}+...+\frac{1}{a_n}}\le \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$

Az egyenlőtlenség iránya nem változott, hiszen csupa pozitív szám szerepelt. Egyenlőség csak $\frac{1}{a_1}=\dots =\frac{1}{a_n}$ számokra, azaz $a_1=\cdots =a_n$ esetén teljesül (ez a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenségből adódik).