Marshall Hall-sejtés

A Marshall Hall-sejtés a négyzet- és a köbszámok távolságával foglalkozik. Azt állítja, hogy a nem hatodik hatványok esetén a négyzet- és a köbszámok egymástól bizonyos távolságra esnek. A Mordell-egyenlettel és az elliptikus görbék egész pontjaival kapcsolatban vetődött fel. A sejtés gyenge formája:

$C(n)\sqrt{n}<|m^2-n^3|$

ahol C(n) egy egynél kisebb exponenciális tényező, ami tart az egyhez, ha n → ∞. Ekkor minden ε > 0-ra

$c(\epsilon )n^{1/2-\epsilon }<|m^2-n^3|.$

A sejtés erős formájában a bal oldalt $\sqrt{n}$ konstansszorosa helyettesíti. Ezt a formát vetette fel eredetileg Marshall Hall 1970-ben. A gyenge forma az abc-sejtés következménye. Más hatványokra általánosítva a Pillai-sejtéshez jutunk.

Források

• Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2 
• Hall, Jr., Marshall. The Diophantine equation x³ - y² = k, Computers in Number Theory, 173–198. o. (1971). ISBN 0-12-065750-3 

További információk

• [1], Noam Elkies oldala a problémáról
• [2], Ismael Jimenez Calvo jó példái a sejtésre.