Menger-szivacs

Menger-szivacs négy iteráció után

A Menger-szivacs (néha Sierpiński-szivacs vagy Menger–Sierpiński-szivacs) egy fraktál, amelyet úgy kapunk, hogy egy kockát az élei harmadolásával 27 kisebb kockára osztunk, és elhagyjuk közülük azt a hetet, amelyik nem tartalmazza az eredeti kocka egyetlen élét sem, majd ezt az eljárást rekurzívan ismételjük a megmaradt kockákra. Nevét Karl Menger osztrák matematikusról kapta, aki a topológiai dimenzió tulajdonságainak vizsgálata közben fedezte fel.

Definíciója

A Menger-szivacs formálisan így definiálható:

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb{\mathbb{N}}}{M}_n$

ahol M₀ az egységkockát jelöli, és:

$M_{n+1}:=\left\{\begin{array}{cc}(x,y,z)\in {\mathbb{ℝ}}^3:& \begin{array}{c}\mathrm{\exists }i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n\\ \mathrm{e}\mathrm{s}i,j,k\text{ közül legfeljebb egy 1}\end{array}\end{array}\right\}$

Tulajdonságai

A Menger-szivacs a Cantor-halmaz és a Sierpiński-szőnyeg térbeli megfelelője; a szivacs minden lapja Sierpiński-szőnyeg, és minden (lap- és test-) átlója Cantor-halmaz. A szivacs egy kompakt halmaz, Lebesgue-mértéke 0, topológiai dimenziója 1, Hausdorff-dimenziója $\frac{\log 20}{\log 3}$ (kb. 2,727). Zárt halmazok metszeteként zárt, és mivel befoglalható a kiindulási kockába, ezért véges halmaz. Ezért a Heine–Borel-tétel miatt kompakt. Ezen kívül nem megszámlálható, és önhasonló struktúrája van.

Konstrukciója

A Menger-szivacs iterációjának első néhány állomása

A Menger-szivacs a Sierpiński-szőnyeghez hasonlóan konstruálható:

1. Vegyünk egy kockát
2. Osszuk fel minden oldalát 9 négyzetre; ezek 27 kis kockára osztják a kockát, Rubik-kocka módjára.
3. Eltávolítjuk minden lap középső kockáját, és a nagy kocka középső kockáját.
4. Megismételjük az első három lépést minden kis kockára.

Ezzel az eljárással a kocka egyre inkább kiürül. Végtelenszer megismételve a Menger-szivacs marad. Általában, a Menger-szivacs n-edik iterációjában $N_n=20^n$ kis kocka lesz. Másként, a Menger-szivacs felépíthető 20 olyan Menger-szivacsból, amiknek oldalhossza harmada a nagy Menger-szivacsénak. A kilyuggatott kocka oldalhossza az iteráció függvényében $L_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^n$. Innen az n-edik iterációban kapott kocka térfogata $V_n=L_n^3{N}_n={\left(\frac{20}{27}\right)}^n$. A kilyuggatás miatt a térfogat a $V=1-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}20^{k-1}\cdot 7\cdot {\left(\frac{1}{3^k}\right)}^3=0$ térfogathoz konvergál, míg a felszín $A_n=\frac{1}{9}\cdot {\left(\frac{20}{9}\right)}^{n-1}[40+80{\left(\frac{2}{5}\right)}^n]$ $n\to \mathrm{\infty }$-re a végtelenbe tart. A konvergencia gyors; a 16. lépésben az eredeti kocka térfogatának már csak az 1%-a marad. Innen kiszámítható a Menger-szivacs Hausdorff-dimenziója:

$D=-\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log (N_n)}{\log (L_n)}=\frac{\log (20)}{\log (3)}=2,726833\dots .$

A Menger-szivacs, mint „test” dimenziója 3-nál kisebb, viszont határoló felszínének dimenziója nagyobb, mint 2. Másként, a Menger-szivacs átmenetnek tekinthető a kétdimenziós felület és a háromdimenziós kocka között.

Források

• Karl Menger: Dimensionstheorie, B.G Teubner Publishers, Leipzig 1928.
• Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Erster Teil) im Jahr 1923 Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 33), Seiten 148–160.
• Karl Menger: Über die Dimensionalität von Punktmengen (Zweiter Teil), im Jahr 1926, Monatshefte für Mathematik und Physik (Heft 34).
• Benoît Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur. Birkhäuser Verlag Basel, Boston, Berlin 1991, ISBN 3-7643-2646-8.