Metrikus tenzor

Más néven mértéktenzor. A matematikában a metrikus tenzort metrikus tereken értelmezzük, és a távolságok meghatározását teszi lehetővé. A fizikában az általános relativitáselméletben fordul elő, mint a téridő szerkezetét leíró mennyiség. Ezért a metrikus tenzor meghatározza a gravitációs kölcsönhatást is.

Definíciója

Legyen A affin tér a valós V eltolásvektortérrel! Ekkor g metrikus tenzor A fölött, ha A-t a V fölötti skalárszorzatok terébe képezi, azaz minden $P\in A$ pontra

$g(P):V\times V\to \mathbb{ℝ}$

szimmetrikus, pozitív definit bilineáris forma. A metrika és a pszeudometrika analógiájára néha megengedik, hogy egyes pontokban, vagy mindenütt pozitív szemidefinit legyen. Ezzel pszeudometrikus tenzorokhoz jutnak. Vagyis a pozitív definitség követelménye:

$g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x})>0$ minden $0\ne \overrightarrow{x}\in V$-re

helyett megelégszenek a pozitív szemidefinitség követelményével:

$g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x})\ge 0$ minden $\overrightarrow{x}\in V$-re

A metrikus tenzor egy $P\in A$ ponttól függő távolságot definiál a V vektorok terén:

$\Vert \overrightarrow{x}{\Vert }_P=\sqrt{g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x})}$

Az euklideszi skalárszorzathoz hasonlóan a $\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V$ vektorok $\vartheta \in [0,\pi ]$ szöge a $P\in A$ pontban:

$\cos (\vartheta )=\frac{g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})}{\sqrt{g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{x})}\sqrt{g(P)(\overrightarrow{y},\overrightarrow{y})}}$

Tulajdonságai

• másodrendű szimmetrikus tenzor
• determinánsa különböző nullától (tehát nem szinguláris)
• kovariáns deriváltja nulla

Az invariáns távolságnégyzet kiszámítása: $$\begin{gathered} d{s}^2=g_{ab} \\ d{x}^a \\ d{x}^b \end{gathered}$$

Ábrázolása koordinátákkal

Koordináta-rendszert választva a V vektortérben, és a koordinátavektorokat rendre $(e_i)$-vel jelölve a g metrikus tenzor felírható a $g_{ij}(P)=g(P)(e_i,e_j)$ alakban. Az Einstein-féle összegzési konvenció szerint ekkor az $\overrightarrow{x}=x^i{\overrightarrow{e}}_i$ és az $\overrightarrow{y}=y^i{\overrightarrow{e}}_i$ vektorokra

$g(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=g_{ij}(P)x^i{y}^j$.

A kategóriaelmélet fogalmai szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kovariáns, mivel az $\phi :(A,V)\to (B,W)$ injektív affin lineáris leképezések a (B,W) fölötti metrikus tenzorokat természetes módon (A,V) fölötti metrikus tenzorokba viszik:

$({\phi }^{*}g)(P)(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})=g(\phi (P))({\phi }_{*}(\overrightarrow{x}),{\phi }_{*}(\overrightarrow{x}))$.

A fizikai alkalmazások szerint a metrikus tenzor, illetve koordinátákkal való ábrázolása kontravariáns, mert koordinátái a koordináta-rendszer transzformációjakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a bázis. Ha a koordináta-rendszer transzformációját a

$x^k=A^k{}_i{\tilde{x}}^i$ illetve ${\tilde{x}}^i=(A^{-1}{)}^i{}_k{x}^k$

képletek írják le, akkor a bázisvektorok így transzformálódnak:

${\tilde{e}}_i=A^k{}_i{e}_k=(A^T{)}_i{}^k{e}_k$

és a metrikus tenzor transzformációja:

${\tilde{g}}_{ij}=g({\tilde{e}}_i,{\tilde{e}}_j)=(A^T{)}_i{}^k(A^T{)}_j{}^l{g}_{k,l}.$

Görbék hossza

Ha $\gamma :[a,b]\to A$ differenciálható görbe az A affin térben, akkor minden t pontban van érintője:

$\overrightarrow{x}(t)=\dot{\gamma }(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\gamma (t)$.

A görbe, vagy görbeszegmens hossza a metrikus tenzorral számítható:

$L_{[a,b]}(\gamma )=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{g(\gamma (t))(\overrightarrow{x}(t),\overrightarrow{x}(t))}\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\Vert \dot{\gamma }(t){\Vert }_{\gamma (t)}\mathrm{d}t$

A $\mathrm{d}{s}^2=g_{ij}\mathrm{d}{x}^i\mathrm{d}{x}^j$ kifejezést ívelemnégyzetnek nevezzük. A láncszabály szerint

$\mathrm{d}{s}^2=g_{ij}\frac{\mathrm{d}{x}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{x}^j}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}{t}^2$,

ahol ds a fenti, ívhossz kiszámítását célzó integrált jelenti.

Indukált metrikus tenzor

Legyen A Riemann-sokaság, adva legyen benne a $(g_{ij})$ metrika, és adva legyen egy részsokaság a $q^i=q^i(t^1,t^2,...,t^p)$ ($i=1,\dots ,n$) paraméterekkel! Tekintsük ebben a részsokaságban a

$$\begin{gathered} t^{\alpha }=t^{\alpha }(t),(a\le t\le b), \\ (\alpha =1,\dots ,p) \end{gathered}$$ görbét!

Ekkor e görbe ívhossza:

$s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{g_{ij}\frac{\mathrm{d}{q}^i}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{q}^j}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^{\alpha }}\frac{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}{\mathrm{d}t}\frac{\partial q^j}{\partial t^{\beta }}\frac{\mathrm{d}{t}^{\beta }}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^{\alpha }}\frac{\partial q^j}{\partial t^{\beta }}\frac{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{t}^{\beta }}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t$

ahol

$a_{\alpha \beta }:=g_{ij}\frac{\partial q^i}{\partial t^{\alpha }}\frac{\partial q^j}{\partial t^{\beta }}$ indukált mértéktenzor.

Ezzel számolva az ívhossz:

$s=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sqrt{a_{\alpha \beta }\frac{\mathrm{d}{t}^{\alpha }}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}{t}^{\beta }}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}t$.

Példák

- a gömbfelszín metrikus tenzora:

$g=\left(\begin{array}{cc}{r}^2& 0\\ 0& r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$

- a Minkowski-téridő metrikus tenzora:

$g=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)$

- a gömbszimmetrikus (Schwarzschild) téridő metrikus tenzora, ahol $r_s$ a Schwarzschild-sugár:

$g=\left(\begin{array}{cccc}1-\frac{r_s}{r}& 0& 0& 0\\ 0& -\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}& 0& 0\\ 0& 0& -r^2& 0\\ 0& 0& 0& -r^2{\sin }^2\theta \end{array}\right)$

Irodalomjegyzék

• Hraskó Péter: Relativitáselmélet, Typotex Kiadó 2002, ISBN 963-9326-30-5, hibajegyzék
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet, Akadémiai Kiadó 2006, ISBN 9630584239
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete, Tankönyvkiadó 1963
• Landau - Lifsic: Elméleti Fizika II. Tankönyvkiadó 1976
• Fließbach, Torsten: Allgemeine Relativitätstheorie, Elsevier GmbH kiadó München 2006, ISBN 978-3-8274-1685-8
• Oloff, Rainer: Geometrie der Raumzeit, Friedr. Vieweg & Sohn kiadó Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0468-6

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Metrischer Tensor című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.