Minkowski-dimenzió

A Minkowski-dimenzió vagy Minkowski–Bouligand-dimenzió (ismert dobozdimenzió és kapacitásdimenzió néven is), egy eljárás halmazok, főleg fraktális halmazok dimenziójának kiszámítására. Hasonlít a jóval népszerűbb Hausdorff-dimenzióra, de annál könnyebben kezelhető módszert ad. Általában bármilyen (X,d) metrikus térben lévő S halmaz dimenzióját ki lehet vele számolni, de legtöbbször Rⁿ-beli halmazokra szorítkozunk. Mint a neve is mutatja, egyszerű leszámlálással határozhatjuk meg a halmaz dimenzióját, a halmazt egyenlő méretű „kockákkal” lefedjük, és vizsgáljuk, hogyan változik a szükséges kockák mennyisége az élhossz függvényében. Ha ez a függvény konvergens, akkor a határértéke lesz a halmaz dimenziója.

Definíciója

Legyen $S\in {\mathbf{R}}^n$ halmaz és $r\in \mathbf{R}$. Fedjük le S-t r élhosszúságú diszjunkt kockákkal, azaz keressük azt a legkisebb F halmazt, ami előáll r élhosszúságú diszjunkt kockák uniójaként és $S\in F$. Legyen e kockák száma N_r. Ha az élhosszt változtatjuk, akkor természetesen N_r is változik, azaz értelmezhető az N_r(S) sorozat. Ha ez a sorozat konvergens, akkor S Minkowski-dimenziója

$\dim (S)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\log N_r(S)}{\log \frac{1}{r}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_n{N}_n(S)$, az utolsó kifejezés n osztópontra vonatkozik.

A lefedő halmaz miatt az így definiált dimenziót külső dimenziónak is nevezik. Ha a határérték nem létezik, akkor is értelmezhető a fedő és az S által lefedett két halmaz, ezek elemszámának limesz szuperiorja és limesz inferiorja lesz a halmaz külső és belső dimenziója. Kockázás helyett lehetséges a sok esetben kényelmesebben kezelhető Rⁿ-beli gömböket is használni. Ennek a hátránya, hogy nem diszjunkt halmazokkal tudjuk csak lefedni S-t, viszont az elv természetesen vihető át más halmazokra. Az értelmezés ugyanaz marad, csak itt nem a fedő gömbök számát kell érteni, hanem a legkevesebb fedő gömböt tartalmazó halmaz elemszámát.

Tulajdonságai

• Bármely halmaz Minkowski-dimenziója nem kisebb a Hausdorff-dimenziójánál:

${\dim }_H(S)\le {\dim }_M(S)$

• A „klasszikus” ponthalmazokra a hagyományos dimenzióval azonos értéket ad, azaz egy négyzet dimenziója kettő, a körvonalé 1, stb. Annyival erősebb a hagyományos dimenziófogalomnál, hogy a síkidomoktól eltérő ponthalmazok esetén is jól értelmezhető, az elvárthoz közeli értéket ad.
• Egyenértékű azzal, hogy arányos a lefedő kockák élhosszának egy megfelelő hatványával:

$N_r(S)=C{\left(\frac{1}{r}\right)}^{\dim S}$

Kiszámítása

Példaszámítás

A könnyű áttekinthetőség miatt legtöbbször síkidomokra szokás vonatkoztatni a Minkowski-dimenziót, így itt is ilyen példák szerepelnek főleg. Két példát mutatunk azonban testekre is.

Szakasz Minkowski-dimenziója

Vegyünk egy a hosszúságú szakaszt. Ezt le tudjuk fedni $r=\frac{a}{n}$ oldalhosszúságú négyzetekkel, ahol $n\in \mathbf{N}$, méghozzá n darabbal. Így a lefedő négyzetek száma

$N_r=\frac{a}{r}$,

amit a definícióba írva kapjuk, hogy

$\dim (S)=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\log N_r}{\log \frac{1}{r}}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\log a+\log \frac{1}{r}}{\log \frac{1}{r}}=\underset{r\to 0}{\lim }(\frac{\log a}{\log \frac{1}{r}}+\frac{\log \frac{1}{r}}{\log \frac{1}{r}})$.

A határérték alatti összeg első tagjának értéke 0, a kifejezés második tagja pedig triviálisan 1, így

$\dim (S)=1$, amit el is vártunk.

Körvonal Minkowski-dimenziója

A körvonal esetén egy kicsit más módszerhez folyamodunk, ami majd a véletlen fraktálok esetén lesz hasznos. Lényegében nem az $N_r(S)$ sorozatot határozzuk meg, hanem ennek bizonyos r értékekre felvett értékét, majd ebből próbálunk következtetni a dimenzióra. Egyszerűbb esetekben könnyen fel tudjuk írni a megfelelő sorozatot, és így a határérték megállapítható. Ez a helyzet jelen esetben is. Ha a kört egy négyzettel lefedjük, majd a négyzet oldalain n egyenletesen elhelyezkedő osztópontot veszünk fel, akkor könnyen leszámolhatjuk, hogy a körvonal hány négyzetet metsz. Így a következő sorozatot kapjuk:

Osztópontok száma ($n$)	Lefedett négyzetek ($N_n(S)$)
1	4
2	8
3	12
4	16
5	20

Láthatóan a sorozat az $N_n(S)=4n$ alakot ölti. Innen a dimenzió már könnyedén meghatározható:

$\dim S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log N(n)}{\log n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{n}4n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\log }_{n}4+{\log }_{n}n)=0+1=1$,

ahogy az elvárásunk is volt.

Sierpiński-szőnyeg dimenziója

Sierpiński-szőnyeg

A Sierpiński-szőnyeg egy kellemesen egyszerű fraktál a Minkowski-dimenzió számítására. A következő iteráció segítségével lehet létrehozni egy négyzetből:

1. A négyzetet oszd fel kilenc egyenlő részre az oldalak harmadolópontjainál
2. A középső négyzetet vágd ki
3. Ismételd a megmaradó négyzetekkel

Mivel a Minkowski-dimenzió a lefedésekkel jellemezhető, a fenti iteráció egyben kiszámítási módot is ad. A négyzetek élhossza ugyanis n iterációs lépés után $3^{-n}$, a lefedő négyzetek száma pedig $8^n$. Ezeket a definícióba helyettesítve kapjuk:

$\dim S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log 8^n}{\log \frac{1}{3^{-n}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n\log 8}{n\log 3}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log 8}{\log 3}={\log }_{3}8\approx 1,89278926071437231130$

Henger dimenziója

Fedjük le a hengert egy négyzetes oszloppal. Ha ennek alapéleit s részre osztjuk, akkor az alaplapot s² kocka fedi le. A henger alapját ekkor $\lceil \pi \frac{s^2}{4}\rceil$ kocka fedi le. A hengert több réteg kockával tudjuk lefedni, a rétegek számát a henger sugarának és magasságának aránya adja meg: $\frac{h}{r}s$. A hengert tartalmazó kockák száma tehát

$N(s)=\frac{h}{r}s\pi \frac{s^2}{4}=s^3\frac{h\pi }{4r}$.

A Minkowski-dimenzió a kifejezés s alapú logaritmusának határértéke, ha $s\to \mathrm{\infty }$.

$\begin{array}{rl}\text{dim}H& =\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_s\left(s^3\frac{h\pi }{4r}\right)=\\ & =\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }({\log }_s{s}^3+{\log }_s\frac{h\pi }{4r})=\\ & =\underset{s\to \mathrm{\infty }}{\lim }(3+0)=3.\end{array}$

Véletlen fraktálok

A véletlen fraktálok esetén reményünk sincsen analitikus alakban felírni a ponthalmaz függvényét, ezért az egyetlen módszer az marad, hogy a fedő téglát n részre osztva felvesszük az N(n) függvényt, és annak viselkedéséből következtetünk a dimenzióra. Ilyen módon ugyanis kaphatunk egy $(\dim S{)}_n$ közelítő sorozatot, aminek konvergenciája esetén a határérték lesz a fraktál dimenziója:

$\dim S=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }((\dim S{)}_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log N(n)}{\log n}$,

ami éppen a definíciós képlet, mivel n a tégla élhosszának reciproka, azaz az osztópontok száma, ha a kiindulási tégla oldalait egységnyinek tekintjük. Példaként nézzük Nagy-Britannia dimenzióját!

Nagy-Britannia térképének felosztása dobozokra

Az ábrát megvizsgálva azt látjuk, hogy $n=7$ osztópont esetén 23 négyzet fedi a szigetet, egyet pedig a sziget fed. Felezve a téglákat69 fedi, 16-ot pedig fed a térkép. Egy újabb felezés után 227 fed és 96 fedett. A számítás ez alapján:

Közelítő Minkowski-dimenzió

n	N	logN / logn	N'	logN' / logn
7	23	1,6113252800759	1	0
14	69	1,6044011083361	16	1,0505981401488
28	227	1,6280363347795	96	1,3697683253024

Ez alapján a dimenzió kb. 1,49890233004096, azaz kb. 1,5. Ez megfelel a várakozásunknak, a sziget ugyanis vonalnál több, de „hagyományos“ síkidomnál kevesebb. Természetesen ez az eljárás nem véletlen fraktálok esetén is alkalmazható.

Források

• I. N. Bronstejn, K. A. Szemengyajev, G. Musiol, H. Mühlig: Matematikai kézikönyv (TypoTeX kiadó, 2000) ISBN 963-9132-59-4
• Gerőcs L., Vancsó Ö. et al.: Matematika (Akadémiai kiadó, 2010) ISBN 978 963 05 8488 3 ISSN 1787-4750
• Bernt Wahl: Fractal Explorer
• Scott Sutherland: Fractal Dimension

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Box-counting dimension című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.