PID szabályozó

A PID szabályozó blokkdiagramja

A PID szabályozó egy lineáris rendszerek szabályozásánál gyakran alkalmazott, párhuzamos kompenzáción alapuló szabályozótípus. A PID rövidítés a szabályozó elvére utal, a szabályozó által kiadott végrehajtójel

• a hibajellel (P: proportional),
• a hibajel integráljával (I: integral), valamint
• a hibajel változási sebességével, deriváltjával (D: derivative)

arányos tagokból adódik össze, azaz a végrehajtójel a jelenlegi hiba, a múltbeli hibák és a várható hibák függvénye. Ezen tagok közül nem mindig valósítják meg mindet, ilyenkor beszélhetünk P, PI, PD szabályozókról. A végrehajtójel használható a folyamat vezérlésére, például egy fűtési rendszer energiaforrásának szabályozására.

Matematikai leírás

A PID szabályozó bemenetét $e(t)$-vel, kimenetét $u(t)$-vel jelölve azt várjuk el a szabályozótól, hogy

$u(t)=K_{P}e(t)+K_I\underset{0}{\overset{t}{\int }}e(\tau )\mathrm{d}\tau +K_D\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}e(t).$

alakú kimenetet állítson elő, ahol $K_P$ az arányos tag súlyát, $K_I$ az integráló tag és $K_D$ a differenciáló tag súlyát adja meg. Mint lineáris rendszer, a PID szabályozó viselkedése is leírható frekvenciatartományban. Átviteli függvénye párhuzamos, az előző képletből a Laplace-transzformáció alapján következő alakban:

$H(s)=K_P+K_I\frac{1}{s}+T_{D}s$

Ebben a formában a differenciáló tag valóban a hibajel deriváltjával arányos jelet állítja elő, azonban ebben a tagban a számláló fokszáma nagyobb, mint a nevezőé, vagyis valós rendszerrel nem valósítható meg. Ezért az ideális differenciáló tag helyett egy közelítő D-tagot szokás megvalósítani:

$\frac{T_{D}s}{1+T_{C}s}$

$T_C$ megfelelő megválasztásával a szabályozó kisfrekvenciás jelekre jól közelíti az ideális PID szabályozó tulajdonságait. A tagok közös nevezőre hozásával és a kifejezés átrendezésével megkaphatjuk a szabályozó átviteli függvényének soros alakját:

$H(s)=\frac{K_P}{T_{I}s}\frac{(1+{\tau }_{1}s)(1+{\tau }_{2}s)}{1+T_{C}s}$

A soros alak előnye, hogy rámutat a soros kompenzáció hatására frekvenciatartományban: Ha a szabályozandó folyamat (szakasz) viselkedésének leírását ismerjük (a rendszer részletes fizikai modellje, vagy a szakaszt identifikálva), a ${\tau }_1$ és ${\tau }_2$ értékét az identifikált szakasz két legnagyobb időállandójával egyezőnek választva, $T_C$-t pedig náluk kisebbre választva a rendszer gyorsítható. Az eredő rendszert visszacsatolva pedig az integrátor jelleg ($\frac{1}{s}$-es tényező) a rendszer statikus hibája megszüntethető.

PID szabályozó elmélete

A következőkben leírjuk, hogyan válaszolnak a szabályozó elemei, ha az alapjel egységugrás függvény szerint változik (kék vonal). Az időfüggvények csak a hasonlóságot jelzik – például villamos szabályozó alapjele 4...20 mA értékek közé eshet, míg a szabályozott jellemző akármi lehet (nyomás, hőmérséklet, folyadékszint, stb.)

Arányos rész

PV ábrázolása az idő függvényében, K_p 3 értékére(K_i és K_d paraméterek konstansok)

Az arányos tag válaszfüggvényét megkapjuk, ha megszorozzuk a hibajelet a K_p konstanssal. Az arányos tagot a következőképpen adhatjuk meg:

$P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=K_{p}e(t)$

ahol:

$P_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$: arányos tag kimenete

$K_p$: arányos tag átviteli tényezője (erősítés)

$e$: hibajel $=SP-PV$

$SP$: Setpoint, alapjel

$PV$: Process value, szabályozott jellemző

$t$: Pillanatnyi idő

A magas erősítés azt jelenti, hogy a kimenet változása nagy lesz. Az arányos tag arányos a hibajellel. Ha az erősítés túl nagy, instabilitási problémák léphetnek fel, míg ha túl kicsi, akkor kevésbé érzékeny a szabályzó kör.

Integráló rész

PV az idő függvényében, K_i 3 értékére (K_p és K_d konstansok)

Az integráló-tag arányos a hibajel nagyságával, valamint a hibajel időtartamával is. Összegezve a pillanatnyi hibát időről időre (más szóval integrálva a hibajelet) megadja az offset-hibát. Az offset-hibát célszerű korábban kiküszöbölni. Az összegzett hibát az integrátor erősítésével összeszorozva megkapjuk az integráló tag kimenetét. Az integráló tag erősítését a $K_i$ paraméter határozza meg. Az integráló-tagot a következőképpen adhatjuk meg: $I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=K_i\underset{0}{\overset{t}{\int }}e(\tau )d\tau$ ahol:

$I_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$: Integráló-tag kimenete

$K_i$: Erősítés, integráló tag átviteli tényezője

$SP$: Setpoint, alapjel

$PV$: Process value, szabályozott jellemző

$e$: Hibajel $=SP-PV$

$t$: Pillanatnyi idő

$\tau$: Integrálási idő

Az integráló tag (amennyiben hozzáadjuk az az arányos-taghoz) gyorsítja a folyamat mozgását az alapérték (SP-Setpoint) felé és kiküszöböli a maradó szabályozási eltérést. Mivel az integráló tag a múltbeli összegzett hibajelekkel áll összefüggésben, a jelenben túllendülést produkálhat a kívánt értékhez képest.

Differenciáló-tag

PV ábrázolása az idő függvényében, K_d 3 értékére(K_p és K_i konstansok)

A hiba változásának nagysága a hibajel meredekségéből határozható meg, azaz vesszük az első deriváltját az idő függvényében és megszorozzuk a differenciáló-tag erősítésével ($K_d$). A $K_d$ konstans megadja az erősítés nagyságát. A differenciáló-tag a következőképpen adható meg: $D_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}=K_d\frac{d}{dt}e(t)$ ahol:

$D_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}$: Differenciáló-tag kimenete

$K_d$: differenciáló tag átviteli tényezője, erősítés

$SP$: Setpoint, alapjel

$PV$: Process value, szabályozott jellemző

$e$: Hibajel $=SP-PV$

$t$: Pillanatnyi idő

A differenciáló tag késlelteti a szabályozó kimenetének változásának a mértékét. Ezen túl a differenciáló-tag szerepe, hogy csökkentse az integráló-tag túllendülését, valamint fokozza a szabályozási folyamat stabilitását. Azonban a jelek differenciálása erősíti a zajt, ezért ha a zaj és az erősítése ennek a tagnak túl nagy, akkor instabilitási problémák léphetnek fel. A zaj kifejezés helyett a zavaró jellemző is használatos

Kapcsolódó szócikkek

A kifejezések értelmezését lásd a szabályozás szócikkben