Paralelogrammaazonosság

A paralelogrammaazonosság egy elemi geometriai tétel, ami összefüggést állapít meg a paralelogramma oldalai és átlói között. A tételnek további következményei is vannak a komplex számok és a skalárszorzatos vektorterek körében. Egy (V, ||.|| ) normált vektortérben paralelogrammaazonosságnak nevezzük a következő formulát:

$\mathrm{\forall }f,g\in V:||f+g|{|}^2+||f-g|{|}^2=2||f|{|}^2+2||g|{|}^2$

A formális azonosság geometriai elnevezése arra az analógiára utal, hogy a kétdimenziós euklideszi térben bármely paralelogrammában az átlók hosszának négyzetösszege megegyezik a oldalak hosszának négyzetösszegével.

Geometriai alkalmazás

Állítás

Ha egy paralelogramma oldalainak hossza a, b, és átlóinak hossza e, f, akkor

$2(a^2+b^2)=e^2+f^2.$

Bizonyítás

Jelölések a bizonyításhoz

A Pitagorasz-tételből közvetlenül adódik. Bevezetjük a további $h_a$ jelölést, ami az a oldalhosszhoz tartozó magasság. A Pitagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával:

$(a+q{)}^2+h_a^2=e^2$

$(a-q{)}^2+h_a^2=f^2$

A két egyenlőség összeadásával adódik, hogy $2(a^2+q^2+h_a^2)=e^2+f^2$ A Pitagorasz-tétel harmadik alkalmazásával $q^2+h_a^2=b^2$ következik, amivel a tétel bizonyítása kész. A koszinusztétel szerint:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}{e}^2+f^2& =(a^2+b^2-2ab \\ \cos (\beta ))+(c^2+b^2-2cb \\ \cos (\gamma ))\\ & =2(a^2+b^2)\end{array} \end{gathered}$$,

mivel $c=a$ és $\cos (\gamma )=\cos (\pi -\beta )=-\cos (\beta )$.

Az $\overrightarrow{a}$ és $\overrightarrow{b}$ vektorok által kifeszített parallelogramma

A koordinátageometriában már megjelennek vektorok a bizonyításban: Legyen $\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ és $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$, ekkor

$e^2+f^2=a^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+b^2+a^2-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+b^2=2a^2+2b^2$.

Általánosítás és megfordítás

Tetszőleges síknégyszögben a szokásos jelölésekkel:

$a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4x^2,$

ahol $x$ az átlók középpontjai közötti távolság. Paralelogramma esetén az átlók felezik egymást, a felezőpontok egybeesnek, így távolságuk nulla, tehát $x=0$, és adódik speciális esetben a paralelogrammaazonosság. Megfordítva, ha teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor $x=0$. Tehát az átlók felezik egymást, ami a paralelogramma egyik ekvivalens definíciója.

Komplex számok

Állítás

Ha z, w komplex számok, akkor:

$2(|z{|}^2+|w{|}^2)=|z+w{|}^2+|z-w{|}^2.$

Bizonyítás

A komplex számokat a Gauß-féle számsíkon tekintve z és w paralelogrammát feszítenek ki, aminek átlói z+w és z-w. Erre lehet alkalmazni a geometriai bizonyítást. Számolással is lehet bizonyítani: Tudjuk, hogy ${\left|z\right|}^2=z\bar{z}$. Ezzel:

${|z+w|}^2+{|z-w|}^2=(z+w)\overline{(z+w)}+(z-w)\overline{(z-w)}$

$=(z+w)(\bar{z}+\bar{w})+(z-w)(\bar{z}-\bar{w})$

$=(z\bar{z}+w\bar{z}+z\bar{w}+w\bar{w})+(z\bar{z}-w\bar{z}-z\bar{w}+w\bar{w})$

$=2z\bar{z}+2w\bar{w}$

$=2{\left|z\right|}^2+2{\left|w\right|}^2$

Az azonosságot teljesítő normált terek

Nem minden normált térben igaz az azonosság. Ellenben minden skalárszorzatos V tér esetén az ||x||:=<x,x> generált normával ellátva V paralelogrammaazonosságos tér. A megfordítás is igaz: Ha ||.|| olyan norma V felett, mellyel teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor ||.|| segítségével definiálható V-n skalárszorzat (ez a Neumann-Jordan-tétel). A paralelogrammaazonosságnak nagy jelentősége van az absztrakt függvényterek tárgyalásánál. Megmutatható például, hogy egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér, ha teljesül benne a paralelogrammaazonosság.

Állítás

Skalárszorzatos vektorterekben, vagy legalábbis pozitív szemidefinit skalárszorzattal ellátott vektorterekben

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$

ahol $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ a skalárszorzat által indukált norma, vagy félnorma.

Bizonyítás

A bizonyításhoz csak annyit használunk fel, hogy a skalárszorzat a vektorok összeadására mindkét argumentumában lineáris. Emiatt

$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=⟨x+y,x+y⟩+⟨x-y,x-y⟩$

$$\begin{gathered} =⟨x,x+y⟩+⟨y,x+y⟩ \\ + \\ ⟨x,x-y⟩-⟨y,x-y⟩ \end{gathered}$$

Értelmezés sikertelen (formai hiba): {\displaystyle = \langle x, x \rangle +\langle x, y\rangle + \langle y, x \rangle +\langle y, y\rangle \ +\ \langle x, x\rangle - \langle x, y\rangle - \langle y, x\rangle + \langle y, y\rangle }

$=2⟨x,x⟩+2⟨y,y⟩=2(\Vert x{\Vert }^2+\Vert y{\Vert }^2)$

Megfordítás

A megfordítás következik a Jordan–Neumann-tételből: Ha egy $(V,\Vert \cdot \Vert )$ vektortérben teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor létezik egy $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ skalárszorzat, ami ezt a normát indukálja. Ez azt jelenti, hogy minden $x\in V$ esetén

$\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}.$

Ez a skalárszorzat polarizációs formulával számítható. Valós esetben:

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}\left(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2\right)$

és komplex esetben:

$⟨x,y⟩=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)+\frac{i}{4}(\Vert x+iy{\Vert }^2-\Vert x-iy{\Vert }^2).$

Hivatkozások

• Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972
• Mikolás Miklós, Valós függvénytan és ortogonális sorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, 203–204. oldal

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Parallelogrammgleichung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.