Pell-egyenlet

A Pell-egyenlet (John Pell után) az egyik legegyszerűbb diofantoszi egyenlet: x²-dy²=1, ahol d>1 olyan egész szám, amely nem négyzetszám, és pozitív egész megoldásokat keresünk. Minden fenti típusú d értékre van megoldás, méghozzá végtelen sok.

A Pell-egyenletek megoldása

Ha az egész d>1 szám nem négyzetszám, akkor $\sqrt{d}$ irracionális, így Dirichlet approximációs tétele miatt van végtelen sok olyan x/y racionális szám, hogy

$|\frac{x}{y}-\sqrt{d}|<\frac{1}{y^2}.$

Ha K a $2\sqrt{d}+1$ után következő természetes szám, akkor minden ilyen közelítésre

$\left|\frac{x^2-d{y}^2}{y^2}\right|=|\frac{x}{y}-\sqrt{d}||\frac{x}{y}+\sqrt{d}|<\frac{K}{y^2},$

azaz

$|x^2-d{y}^2|$

értéke mindig legfeljebb K. Végtelen sokszor tehát ugyanazt az értéket, mondjuk L-et veszi fel. Ekkor végtelen sokszor x maradéka ugyanaz L-lel osztva és tovább szűkítve, az utóbbi megoldások közül végtelen sokszor ugyanaz y maradéka L-lel osztva. Kapunk tehát két különböző (x,y) és (X,Y) közelítő törtet, hogy egyrészt

$x^2-d{y}^2=X^2-d{Y}^2=L$

másrészt x≡X mod L és y≡Y mod L. Ekkor

$L^2=(x^2-d{y}^2)(X^2-d{Y}^2)=(xX+dyY{)}^2-d(yX+Yx{)}^2=(xX-dyY{)}^2-d(yX-Yx{)}^2$

és itt az utóbbi jobb oldali számok közül xX-dyY és yX-Yx oszthatók L-lel (xX-dyY ≡ x^2-dy^2 mod L és yX-Yx ≡ xy-xy mod L), azaz Lu és Lv alakúak. Így végigosztva L^2-tel: $u^2-d{v}^2=1$ adódik. Ki kell még zárnunk a hamis megoldás, tehát v=0 lehetőségét. Valóban, ekkor yX-Yx=0, azaz x/y=X/Y teljesülne.

Az összes megoldás

Ha $(x_1,y_1)$ az $x^2-d{y}^2=1$ egyenlet legkisebb pozitív megoldása, akkor a többit a $x_n+y_n\sqrt{d}=(x_1+y_1\sqrt{d}{)}^n$ képlettel kaphatjuk meg.

A legkisebb megoldás

A számelmélet egyik fontos problémája, hogy mekkora egy Pell-egyenlet legkisebb megoldása. Hua Lo Keng az $x^2-d{y}^2=4$ egyenlet (d nem négyzetszám, $d\equiv 0,1(\mathrm{mod}4)$) legkisebb megoldására az $O(e^{\sqrt{d}\log d})$ becslést adta.

Források

• A Pell-egyenletről Archiválva 2014. március 15-i dátummal a Wayback Machine-ben
• A Pell-egyenlet Archiválva 2013. május 8-i dátummal a Wayback Machine-ben