Szorzás

$3 \cdot 4 = 12$ , tehát három sorban és négy oszlopban 12 pont helyezhető el

Szorzás vagy sokszorozás, a számtani alapműveletek egyike. Ha a és b pozitív egész számokat jelentenek, akkor b-t megszorozni a-val annyit tesz, mint alkotni a

\sum_{i = 1}^{a} b = \underset{a}{\underset{⏟}{b + b + \dots + b}}

összeget, amelyet röviden ab-vel szokás megjelölni. A b számot, amelyet ezen összeg előállítása végett a-szor tettünk összeadandónak, sokszorozandónak vagy szorzandónak, az a számot sokszorozónak vagy szorzónak, az eredményül nyert összeget pedig szorzatnak nevezzük. Bebizonyítható, hogy

ab = ba, azaz a szorzás kommutatív.
(ab)c = a(bc), azaz a szorzás asszociatív.
a(b + c) = ab + ac, azaz a szorzás disztributív az összeadásra és a kivonásra nézve.

Minthogy a szorzandó felcserélhető a szorzóval anélkül, hogy a szorzat értéke ennek következtében megváltoznék, még az elnevezésben sem szükséges azokat egymástól megkülönböztetni, és ezért mind a kettőt a szorzat tényezőinek nevezzük. Több pozitív egész szám szorzatát úgy alkotjuk, hogy az elsőt megszorozzuk a másodikkal, a nyert szorzatot a harmadikkal stb:

\prod_{i = 1}^{n} a_{i} = a_{1} \cdot a_{2} \cdot \dots a_{n} = (\dots (((a_{1} \cdot a_{2}) \cdot a_{3}) \cdot a_{4}) \dots) \cdot a_{n}

A kommutativitás miatt az ilyen szorzat értéke is független a megadott tényezők sorrendjétől. A szorzás megfordítása az osztás. Ha a pozitív egész számok halmazán kívül első tagokkal akarjuk elvégezni a szorzást, akkor e művelet értelmezését módosítanunk kell. Különféle számhalmazokon úgy szokás definiálni, hogy a szorzás jelentése ne változzon, ha az újabb számhalmazt a régebbi kibővítésének tekintjük. A szorzás természetes, egész, racionális, valós és komplex számok halmazán is kommutatív, asszociatív és disztributív művelet.

Általánosítás

A szorzás kétváltozós műveletként általánosítható más algebrai struktúrákra, például mátrix- és függvény halmazokra is. A mátrixszorzás asszociatív és disztributív, de nem kommutatív.

Jelölések

A szorzást számok esetén szorzóponttal vagy szorzókereszttel jelölik:

2 \cdot 3 = 6

(Kétszer három az hat)

3 \cdot 4 = 12

2 \cdot 3 \cdot 5 = 6 \cdot 5 = 30

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32

vagy

2 \times 3 = 6

3 \times 4 = 12

2 \times 3 \times 5 = 6 \times 5 = 30

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

Egymás után írás; ez az algebrában szokásos, és mindenütt, ahol betűjelölések szerepelnek. Például xy vagy 5x.
Vektorok esetén kétféle szorzást is értelmeznek: a skaláris és a vektoriális szorzást. A skaláris szorzatot szorzópont, a vektoriális szorzatot szorzókereszt jelöli.
Programnyelvekben a * csillag a szorzójel. Ezt azért választották így, mert minden billentyűzeten rajta van, és jobban látszik a régi képernyőkön. Ez a FORTRAN programozási nyelvből ered.

Algoritmusok

Az írásbeli szorzás szokásos módja a szorzótábla ismeretét igényli, de van olyan módszer is, ami anélkül is működik. A nagy számok kézzel való szorzása időigényes és sok hibalehetőséget hordoz magában. Ennek megkönnyítésére használják a tízes alapú logaritmust. Logarléccel három számjegyes pontossággal lehet szorozni. A huszadik század elején a mechanikus számológépek, mint például a Marchant 10 számjegyes pontosságot is lehetővé tettek. A modern elektromos számológépek és a számítógépek nagyban csökkentették a kézi számítások iránti igényt.

Történelmi algoritmusok

Különböző módszerek maradtak fenn az ókori Egyiptomból, Babilonból, Görögországból, az Indus-völgyből és Kínából.

Egyiptom

Az egyiptomi módszer a Jahmesz által írt Rhind-papirusz szerint sorozatos kétszerezésen, felezésen és összeadáson alapul. Például a 13 és a 21 összeszorzásához háromszor kétszerezték meg a 21-et: $1 \cdot 21 = 21$ , $2 \cdot 21 = 42$ , $4 \cdot 21 = 84$ , $8 \cdot 21 = 168$ . A 13-at háromszor elfelezték: $13 : 2 = 6$ , marad $1$ ; $6 : 2 = 3$ , nem marad semmi; $3 : 2 = 1$ , marad az $1$ . A szorzatot a megfelelő kétszerezések összegeként állították elő: $13 \cdot 21 = (1 + 4 + 8) \cdot 21 = (1 \cdot 21) + (4 \cdot 21) + (8 \cdot 21) = 21 + 84 + 168 = 273$ .

Babilon

Babilonban a hatvanas számrendszert használták, hasonlóan a mai tízes számrendszerhez. A szorzás a mai tízes számrendszerbeli szorzáshoz hasonlóan működött. Mivel nehéz emlékezni a $60 \cdot 60$ szorzatra, ezért a babiloni matematikusok szorzótáblázatokat használtak. Ezek a táblák tartalmazták egy szám első húsz szorzatát, amit a szám tízszereseinek szorzatai követtek. Egy szorzás végrehajtásához, például az $53 n$ kiszámításához külön kellett összeszorozni 50-nel és 3-mal, majd ezeket a szorzatokat összeadni.

Kína

A Zhou Pei Suan Ching (Kr.e. 300-nál korábbról) és Kilenc fejezet a matematika művészetéről matematikai könyvekben a számítások szavakkal vannak leírva. Ismert viszont, hogy az ókori kínai matematikusok abakuszt használtak a számítások elvégzéséhez.

Indus-völgy

Az Indus-völgye korai hindu matematikusai számos intuitív módszert alkalmaztak a szorzásra. A számolásokat általában kis palatáblákon végezték.

Modern módszer

A modern módszer az arab számíráson és a tízes számrendszeren alapul. Brahmagupta módszert adott az összeadás, kivonás, szorzás, osztás műveletére; ő írta le elsőként a modern módszert. Henry Burchard Fine, a Princeton matematikaprofesszora szerint az indiaiak nemcsak a helyi értékes tízes számrendszert fedezték fel, hanem az ahhoz tartozó alapvető eljárásokat is.^[1]

Szorzássorozat

Jelölés

A szorzássorozat jele a görög nagy pí Π betűből származik. Az Unicode-ban is megkülönböztetik ezt a két jelet: U+220F (∏) jelöli a szorzássorozat jelét, és U+03A0 (Π) a betűt. Ez a jelölés a következőt jelenti:

\prod_{i = m}^{n} x_{i} = x_{m} \cdot x_{m + 1} \cdot x_{m + 2} \cdot \dots \cdot x_{n - 1} \cdot x_{n} .

ahol az alsó index mutatja a futó változót, és annak alsó határát, míg a felső index a felső határt jelöli. A futó index az alsó határtól egyesével megy el egészen a felső határig. A szorzássorozat jele után következnek a tényezők, amik a futó index egymást követő értékeit behelyettesítve kaphatók. Például

\prod_{i = 2}^{6} (1 + \frac{1}{i}) = (1 + \frac{1}{2}) \cdot (1 + \frac{1}{3}) \cdot (1 + \frac{1}{4}) \cdot (1 + \frac{1}{5}) \cdot (1 + \frac{1}{6}) = \frac{7}{2} .

Olvasd: Produktum i=2-től 6-ig, zárójelben az 1+1/i egyenlő... Ha az alsó határ egyenlő a felső határral, akkor a szorzat egy tényezős, és értéke ez a tényező. Ha az alsó határ nagyobb, mint a felső, akkor a szorzat üres, és értéke definíció szerint 1.

Végtelen szorzat

Végtelen sok tényező is összeszorozható, így végtelen szorzat keletkezik. A jelölésben a felső határt $\infty$ , az alsó határt $- \infty$ jelölheti. A végtelen szorzat értéke

\prod_{i = m}^{\infty} x_{i} = \lim_{n \to \infty} \prod_{i = m}^{n} x_{i} .

feltéve, hogy a határérték létezik. A mindkét irányban végtelen szorzat értéke

\prod_{i = - \infty}^{\infty} x_{i} = (\lim_{m \to - \infty} \prod_{i = m}^{0} x_{i}) \cdot (\lim_{n \to \infty} \prod_{i = 1}^{n} x_{i}),

feltéve, hogy a határértékek léteznek.

Értelmezés

Descartes-szorzat

A szorzás ismételt összeadásként való értelmezése egyenes utat biztosít a szorzás halmazelméleti értelmezéséhez a számosságok körében. A $n \cdot a = \underset{n}{\underset{⏟}{a + \dots + a}},$ kifejezésben a n másolatát adjuk össze. Ennek egyik módja az indexelés, ahol $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ , így a diszjunkt példányait uniózzuk össze. Ez éppen az $n \times a$ Descartes-szorzat. A természetes számok szorzásának tulajdonságai azonnal adódnak a Descartes-szorzás megfelelő tulajdonságaiból.

Peano-axiómák

Giuseppe Peano javasolta a Peano-axiómákon alapuló következő definíciót:^[2]

a \times 1 = a

a \times b^{'} = (a \times b) + a

ahol b′ jelöli b rákövetkezőjét. A többi Peano-axióma segítségével bizonyíthatók a szorzás ismert tulajdonságai.

Halmazelmélet

A halmazelmélet segítségével is lehetséges rekurzív definíciót adni a szorzásra, bár ez bonyolult. Ez a definíció visszanyúlik a Peano-féle definíciókhoz.

Geometria

A párhuzamos szelők tétele lehetőséget ad rá, hogy két adott hosszúságú szakasz hosszának szorzatával megegyező hosszúságú szakaszt szerkesszünk.

Különböző számkörök

A szám jelenthet mennyiséget (3 alma), sorszámot (a harmadik alma), vagy mértéket (3,5 méteres magasság). Ahogy a történelemben a matematika az ujjakon való számlálástól a kvantummechanikáig, úgy terjeszkedett a szorzás az egyre elvontabb számkörök és más matematikai objektumok (polinomok, mátrixok) felé.

Egész számok

Az egész számok szorzásának szabálya a természetes számok szorzásának szabályaiból és az előjelszabályból következik: Ha az M és az N egész mindegyike pozitív, akkor $M \times N$ egy olyan tömbben levő elemek számát jelöli, ahol minden oszlopban M, és minden sorban N elem van. Az előjelszabály szerint $(- N) \times M = N \times (- M) = - (N \times M)$ és $(- N) \times (- M) = N \times M$ Ugyanez az előjelszabály érvényes a racionális és a valós számok szorzására.

Racionális számok

A törtek szorzásának szabálya: számlálót számlálóval, és nevezőt nevezővel szorzunk: $\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{(A \times C)}{(B \times D)}$ . Ez a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami $\frac{A}{B}$ hosszú és $\frac{C}{D}$ széles.

Valós számok

Két valós szám szorzatát határértékként adhatjuk meg: (x·y) az a valós szám, ami megkapható egy x-hez és egy y-hoz konvergáló sorozat megfelelő elemeinek összeszorzásával keletkezett újabb sorozat határértékeként. Képletekkel felírva ugyanez: ha $(x_{n})$ és $(y_{n})$ két sorozat, és

\lim_{n \to \infty} x_{n} = x

és

\lim_{n \to \infty} y_{n} = y,

akkor

x \cdot y \overset{d e f}{=} \lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}) .

Pozitív valós számok esetében a szorzat megadja annak a téglalapnak a területét, ami x hosszú és y széles.

Komplex számok

A $z_{1}$ és a $z_{2}$ komplex számot az $(a_{1}, b_{1})$ és az $(a_{2}, b_{2})$ valós számpárokként tekintve $z_{1}$ és $z_{2}$ szorzata a következőképpen adódó komplex szám: $z_{1} \cdot z_{2} = (a_{1} \cdot a_{2} - b_{1} \cdot b_{2}, a_{1} \cdot b_{2} + a_{2} \cdot b_{1}),$ mert ha az i imaginárius egységgel írjuk fel

z_{1} = a_{1} + b_{1} \cdot i,

z_{2} = a_{2} + b_{2} \cdot i,

z_{1} \cdot z_{2} = (a_{1} + b_{1} \cdot i) \cdot (a_{2} + b_{2} \cdot i) = a_{1} \cdot a_{2} + a_{1} \cdot b_{2} \cdot i + a_{2} \cdot b_{1} \cdot i + b_{1} \cdot b_{2} \cdot i^{2} =

= a_{1} \cdot a_{2} - b_{1} \cdot b_{2} + (a_{1} \cdot b_{2} + a_{2} \cdot b_{1}) \cdot i,

ahol kihasználtuk, hogy

i^{2} = - 1 .

Ez a szorzatkifejezés valós számokra egyszerűen $a_{1} \cdot a_{2}$ -vel azonos, mivel valós számok esetében a b₁ és b₂ képzetes részek nullák.

Polinomok és mátrixok

A szorzás a számokon kívül polinomokra és mátrixokra is kiterjeszthető. A polinomok és adott n-re az n×n-es mátrixok gyűrűt alkotnak, ahol lehet összeadni, kivonni és szorozni. A polinomszorzás kommutatív, de a mátrixszorzás nem.

Absztrakt algebra

Csoportok

Sok halmaz a szorzással megfelel a csoport definíciójának. Ezek az asszociativitás, az egységelem és az inverzek megléte, és a halmaz zártsága a műveletekre. Egy egyszerű példa a nem nulla valós számok halmaza. Az egységelem az 1. A nullát azért kell kizárni, mert nincs inverze: nincs olyan szám, amivel megszorozva a nullát 1-et kapunk. Ez a példa egy kommutatív, azaz Abel-csoport. Nem minden csoport kommutatív. Nézzük például az adott méretű invertálható mátrixok csoportját egy adott test felett. Az egységelem az identitásmátrix, az inverzek a mátrixinverzek, és a szorzásra való zártság is teljesül. Mivel a mátrixszorzás nem kommutatív, ezért ez a csoport nem kommutatív. Az egész számok halmaza nem csoport a szorzásra, még a nulla nélkül sem, mert az 1-en és a -1-en kívül nincsenek inverzek. A csoportelméletben a szorzást ponttal, vagy egymás mellé írással jelölik. Így az a és a b elemek szorzata ab vagy $a \cdot b .$

Gyűrűk

A gyűrű egy másik algebrai struktúra, amiben szorozni lehet. Lehet még összeadni és kivonni is. A gyűrűkben nincs minden elemnek (multiplikatív) inverze: például a nullelemnek nincs, és ha a gyűrűben vannak nullosztók, akkor azoknak sincs. A legegyszerűbb példák gyűrűkre az egész számok, a polinomgyűrűk és a mátrixgyűrűk. A kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrűk az integritási tartományok. Erre a legegyszerűbb példa az egész számok. Itt megtörténhet, hogy az $x$ elemnek nincs inverze, de $\frac{x}{y}$ definiálható az $a y = x$ egyenlet megoldásaként.

Ferdetestek

A ferdetestek olyan gyűrűk, amikben minden nem nulla elemnek van inverze. A legegyszerűbb nem kommutatív példát a kvaterniók adják. Ha a szorzás nem kommutatív, akkor nem lehet egyetlen osztásműveletet bevezetni, mivel $(\frac{1}{x}) (\frac{1}{y}) \neq (\frac{1}{y}) (\frac{1}{x}),$ és az $\frac{x}{y}$ hányados nem egyértelmű.

Hatványozás

Az ismételt szorzás hatványozást eredményez. Például a $2 \cdot 2 \cdot 2$ hármas szorzat 2 harmadik hatványa, és $2^{3}$ -ként írható. Ebben a példában 2 az alap, és 3 a kitevő. Általában a felső indexbe írt kitevő jelöli azt, hogy az alap hány tényezős szorzatát kell venni. Így az a alapot n-szer szorozzuk össze:

a^{n} = \underset{n}{\underset{⏟}{a \times a \times \dots \times a}}

Lásd bővebben: Hatvány

Jegyzetek

↑ Henry B. Fine. The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically, (2nd edition, with corrections, 1907), page 90, http://www.archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf
↑ PlanetMath: Peano-aritmetika. [2007. augusztus 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. április 29.)

Források

Boyer, Carl B. (revised by Merzbach, Uta C.) (1991). History of Mathematics. John Wiley and Sons, Inc. ISBN 0-471-54397-7.
[[A Pallas nagy lexikona]]. Szerk. Bokor József. Budapest: Arcanum – FolioNET. 1998. ISBN 963 85923 2 X

Kapcsolódó szócikkek

További információk

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Henry B. Fine. The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically, (2nd edition, with corrections, 1907), page 90, http://www.archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf

[2] PlanetMath: Peano-aritmetika. [2007. augusztus 19-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2009. április 29.)

[1]

[2]